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ARITHMÉTIQUES.

quantité évidemment négative ; mais $(2,1)-(2,13)$ est positif ; donc $(2,9)-(2,15)$ doit être négatif ; ainsi, dans la valeur de $x$ que nous avons trouvée, le signe supérieur doit être pris pour $(2,15)$, et le signe inférieur pour$(2,9)$. Il en résulte

$(2,9)=-1,9659461994,$——$(2,15)=1,4780178344.$

De même, comme on a

$\{(2,1)-(2,13)\}\times \{(2,3)-(2,5)\}=(4,9)-(4,10),$

quantité positive, nous en concluons que $(2,3)-(2,5)$ doit être positif. De là, en faisant le calcul nécessaire, on trouve

$(2,3)$	$={\frac {1}{2}}(4,3)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,10)-2(4,9)\}}}$	$=$	$0,8914767116$
$(2,5)$	$={\frac {1}{2}}(4,3)-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,10)-2(4,9)\}}}$	$=-$	$0,5473259801\,;$

on obtient enfin, par des opérations tout-à-fait analogues,

$(2,10)$	$={\frac {1}{2}}(4,10)-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,3)+2(4,1)\}}}$	$=-1,7004342715$
$(2,11)$	$={\frac {1}{2}}(4,10)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,3)+2(4,1)\}}}$	$=-1,2052692728.$

Il reste encore à descendre aux racines $\Omega$ elles-mêmes. L’équation $(D)$, dont $[1]$ et $[16]$ sont les racines, se trouve être

$x^{2}-(2,1)x+1=0,$

qui donne

$x$	$={\frac {1}{2}}(2,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{(2,1)^{2}-4\}}}$
	$={\frac {1}{2}}(2,1)\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {\{4-(2,1)^{2}\}}}$
$x$	$={\frac {1}{2}}(2,1)\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {\{2-(2,15)\}}}$.

Nous prendrons le signe supérieur pour $[1],$ et partant le signe inférieur pour $[16]$. Les quatorze autres racines se déduiront des puissances de $[1]$, ou de la résolution de sept équations du second degré, dont chacune donnera deux racines, pour lesquelles on lèvera l’incertitude, comme nous l’avons fait plus haut. Par exemple, $[4]$ et $[13]$ sont les racines de l’équation

$x^{2}-(2,13)+1=0,$

qui donne

$x={\frac {1}{2}}(2,13)\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {\{2-(2,9)\}}}\,;$

or on trouve

$([1]-[16])\times ([4]-[13])=(2,5)-(2,3),$

quantité réelle négative ; ainsi comme $[1]-[16]=i{\sqrt {\{2-(2-15)\}}},$ c’est-à-dire le produit de l’imaginaire $i$ par une quantité réelle