Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/481

459

ARITHMÉTIQUES.

nous supposerons que la première soit $(8,1)$, l’autre sera nécessairement $(8,3)$.

L’équation $(B)$, dont les racines sont les sommes $(4,1)$ et $(4,9)$ est

$x^{2}-(8,1)x-1=0,$

et ses racines sont

$x$	$={\frac {1}{2}}(8,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(8,1)^{2}\}}}$
	$={\frac {1}{2}}(8,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{12+3(8,1)+4(8,3)\}}}$ ;

nous supposerons égale à $(4,1)$ celle de ces deux racines dans laquelle le radical est affecté du signe plus ; on aura ainsi

$(4,1)=2,0494811777,\qquad (4,9)=-0,4879283649.$

Les autres périodes de quatre termes, $(4,3)$ et $(4,10)$ peuvent être calculées de deux manières, savoir :

1^o. Par la méthode du n^o 346, qui donne les formules suivantes, en faisant, pour abréger, $(4,1)=p,$

$(4,3)$	$=-$	${\frac {3}{2}}+3p-{\frac {1}{2}}p^{3}$	$=$	$0,3441507314,$
$(4,10)$	$=$	${\frac {3}{2}}+2p-p^{2}-{\frac {1}{2}}p^{3}$	$=-$	$2,9057035442.$

La même méthode donne aussi la formule

$(4,9)=-1-6p+p^{2}+p^{3},$

d’où l’on tire la même valeur que plus haut.

2^o. En résolvant l’équation dont $(4,3)$, $(4,10)$ sont les racines ; cette équation est

$x^{2}-(8,3)x-1=0$

et donne

	$x={\frac {1}{2}}(8,3)$	$\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(8,3)^{2}\}}},$
ou………………	$x={\frac {1}{2}}(8,3)$	$+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{12+4(8,1)+3(8,3)\}}},$
et………………	$x={\frac {1}{2}}(8,3)$	$-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{12+4(8,1)+3(8,3)\}}}\,;$

nous déciderons, par l’artifice suivant annoncé au n^o 352, laquelle de ces deux racines doit être prise pour $(4,3).$ Faisons le produit de $(4,1)-(4,9)$ par $(4,3)-(4,10),$ il est, calcul fait, $=2(8,1)-2(8,3).$ Or la valeur de cette expression est positive , puisqu’elle est $=2{\sqrt {17}}\,;$ d’ailleurs le premier facteur $(4,1)-(4,9)$ est aussi positif, comme égal à ${\sqrt {\{12+4(8,1)+3(8,3)\}}}\,;$ donc le second facteur doit aussi être positif, et partant $(4,3)$

2