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RECHERCHES

$W'$	$=A+a(\gamma ,g^{\alpha })+a(\gamma ,g^{\alpha +1})\dots +a^{\zeta }(\gamma ,g^{\alpha \beta })\dots +a^{\theta }(\gamma ,g^{\alpha \beta +\alpha -1})$
	$=A+a(\gamma ,g^{\alpha })+a(\gamma ,g^{\alpha +1})\dots +a^{\zeta }(\gamma ,g^{\alpha \beta })\dots +a^{\theta }(\gamma ,g^{\alpha -1})$

Ainsi, puisque cette expression doit coïncider avec $W,$ le premier coefficient de $W$ (en commençant par $a$) devra être identique avec le $\alpha +1$^ème, le second avec le $\alpha +2$^ème, le troisième avec le $\alpha +3$^ème, etc., et généralement les coefficiens des périodes

$(\gamma ,\,g^{\mu }),\,(\gamma ,\,g^{\alpha +\mu }),\,(\gamma ,\,g^{2\alpha +\mu }),\dots \qquad (\gamma ,\,g^{\nu \alpha +\mu }),$

qui sont les

$\mu +1$^ème,—$\alpha +\mu +1$^ème,—$2\alpha +\mu +1$^ème,...—$\nu \alpha +\mu +1$^ème

respectivement, devront être identiques.

Il suit de là évidemment que $W$ peut être ramené à la forme

$A+a(\beta \gamma ,\,1)+a'(\beta \gamma ,\,g)+\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}),$

où tous les coefficiens $A,\,a,{\text{etc.}}$ seront entiers, si tous ceux de $F$ le sont. On voit en outre que si l’on substitue dans $F$ à la place des indéterminées, les $\beta$ périodes de $\gamma$ termes qui constituent une autre période de $\beta \gamma$ termes, telle par exemple que $(\beta \gamma ,\,\lambda k),$ périodes qui sont $(\gamma ,\,\lambda k),\,(\gamma ,\,\lambda 'k),\,(\gamma ,\,\lambda ''k),\,{\text{etc.}},$ la valeur qui en résulte est

$A+a(\beta \gamma ,\,k)+a'(\beta \gamma ,\,gk)+\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}k).$

Au reste, il est clair que ce théorème s’étend aussi au cas où $\alpha =1,$ c’est-à-dire, où $\beta \gamma =n-1.$ Alors tous les coefficiens de $W$ sont égaux, et $V$ se ramènera à la forme

$A+a(\beta \gamma ,\,1).$

351. Ainsi, en conservant la notation du n^o précédent, on conclura que les différens coefficiens de l’équation qui donnerait les $\beta$ sommes $(\gamma ,\,\lambda ),\,(\gamma ,\,\lambda '),\,(\gamma ,\,\lambda ''),\,{\text{etc.}}$ peuvent être mis sous la forme

$A+a(\beta \gamma ,\,1)+a'(\beta \gamma ,\,g)\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}),$

et que les nombres $A,\,a,\,{\text{etc.}}$ seront entiers. Or l’équation qui donnerait les $\beta$ périodes de $\gamma$ termes qui composent une autre période $(\beta \gamma ,\,\lambda k)$, se déduira de la première, en remplaçant dans tous les coefficiens la période quelconque $(\beta \gamma ,\,\mu )$ par $(\beta \gamma ,\,k\mu ).$