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RECHERCHES

congruences qui reviennent à $19t+3t+u\equiv 0$, $10+2t+2u\equiv 0,$ $5+5t+3u\equiv 0{\pmod {4}}$. Chacune d’elles sera évidemment satisfaite, si $u\equiv t+1{\pmod {4}}$. Concluons de là que les valeurs de $x\equiv 2$, $5$, $8$ et $11$ que l’on obtient en faisant successivement $t=0$, $1$, $2$, $3$, doivent être combinées respectivement avec les valeurs $3$, $6$, $9$, $0$ de $z$ ; desorte qu’il y a quatre solutions.

$x\equiv 2,\ 5,\ 8,\ 11\dots ,\;y\equiv 11,\ 11,\ 11,\ 11\dots ,\;z\equiv 3,\ 6,\ 9,\ 0{\pmod {12}}.$

À ces recherches qui remplissent la tâche que nous nous étions proposée dans ce chapitre, nous joindrons quelques propositions qui se rapportent aux mêmes principes, et qui seront d’un fréquent usage par la suite.

38. Problème. Trouver combien il y a de nombres plus petits qu’un nombre donné $\mathrm {A}$, et premiers avec lui ? Désignons, pour abréger, le nombre cherché par le caractère $\varphi$ placé avant le nombre donné ; le nombre cherché sera $\varphi A$.

1^o. Quand $A$ est premier, il est évident que tous les nombres, depuis $1$ jusqu’à $A-1$, sont premiers avec $A$, et partant, dans ce cas, on $\varphi A=A-1.$

2^o. Quand $A$ est une puissance d’un nombre premier $p$, $p^{m}$ par exemple ; tous les nombres divisibles par $p$ ne seront pas premiers avec $A$, les autres le seront ; c’est pourquoi de $p^{m}-1$ nombres, il faut rejeter ceux-ci :

$p,\,2p,\,3p\dots \,(p^{m-1}-1)p.$

Il en restera donc $p^{m}-1-(p^{m-1}-1)=p^{m}-p^{m-1}=p^{m-1}(p-1)$ donc …

$\varphi p^{m}=p^{m-1}.(p-1).$

3^o. Les autres cas se ramènent facilement à ceux-ci, au moyen de la proposition suivante : Si on décompose $\mathrm {A}$ en facteurs $\mathrm {M}$, $\mathrm {N}$, $\mathrm {P}$, etc. premiers entr’eux, on aura $\varphi \mathrm {A} =\varphi \mathrm {M} .\varphi \mathrm {N} .\varphi \mathrm {P} .$, etc., qui se démontre ainsi qu’il suit. Soient $m$, $m'$, $m''$, etc. les nombres premiers avec $M$ et plus petits que lui. Soient de même $n$, $n'$, $n''$, etc., $p$, $p'$, $p''$, etc., etc. les nombres premiers avec $N$, $P$, etc. $p$, $p'$, $p''$, etc., etc. les nombres premiers avec $M$, $N$, $P$, etc. respectivement, et plus petits qu’eux ; il est évident que tous les nombres premiers avec $A$ le seront aussi avec les facteurs $M$, $N$, $P$, etc., et réciproquement (n^o 19), et que tous les nombres qui seront congrus à l’un quelconque des nombres $m$, $m'$ etc. suivant le module $M$, seront premiers avec $M$ ; de même pour $N$, $P$, etc. La