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ARITHMÉTIQUES.

Or les nombres $M$ , $N$ , $P$ , etc. peuvent être déterminés par un artifice absolument semblable à celui dont nous nous sommes servis au n^o 322, sans résoudre les congruences, et ils coïncideront, soit avec tous les non-résidus, soit avec les résidus de $p$ (zéro excepté), suivant que la valeur de l’expression $-{\frac {m}{n}}{\pmod {p}}$ , ou, ce qui revient au même, suivant que le nombre $-mn$ est résidu ou non-résidu de $p$ . Ainsi, dans l’exemple 2 du n^o précédent, pour $E=17$ , on a $k=7$ ; $-mn=-1365\equiv 12$ est non-résidu de $17$ ; donc les nombres $M$ , $N$ , etc. sont $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $9$ , $13$ , $15$ , $16$ , et partant, les nombres $\alpha$ , $\beta$ , etc. sont $8$ , $9$ , $11$ , $15$ , $16$ , $3$ , $5$ , $6$ . Parmi ces derniers, $8$ , $9$ , $15$ et $16$ sont résidus, d’où l’on tire $\pm h$ , $h'$ , etc. $\pm 5$ , $3$ , $7$ , $4.$

Ceux qui auront fréquemment occasion de résoudre ce problème, gagneront beaucoup à calculer pour plusieurs nombres premiers $p$ , les valeurs de $h$ , $h'$ , etc. correspondantes aux différentes valeurs de $k(1,2,3....p-1)$ , dans la double supposition où $-mn$ est résidu, et où il est non-résidu de $p$ . Au reste, nous observerons encore qu’il y a toujours ${\frac {1}{2}}(p-1)$ nombres $h,$ $-h,$ $h',$ etc. quand $k$ et $-mn$ sont tous deux résidus, ou tous deux non-résidus de $p$ ; ${\frac {1}{2}}(p-3)$ , quand le premier est résidu et le second non-résidu ; ${\frac {1}{2}}(p+1)$ , quand le premier est non-résidu et le second résidu. Mais, pour éviter la prolixité, nous supprimons la démonstration de ce théorème.

Quant à ce qui regarde les cas où $E$ est un nombre premier qui divise $n$ , ou une puissance d’un nombre premier impair qui divise ou ne divise pas $n$ , nous allons voir qu’ils peuvent être employés d’une manière encore plus expéditive. Nous traiterons tous ces cas ensemble, et conservant la notation du n^o 324, nous ferons $n=n'p^{\nu }$ , desorte que $n'$ ne soit plus divisible par $p^{\mu -1}$ . Les nombres $a,$ $b,$ $c,$ etc. seront les produits du nombre $p$ par tous les nombres moindres que $p$ , zéro excepté, et par tous les non-résidus de $p$ plus petits que $p,$ suivant que $\mu$ est pair ou impair ; exprimons les indéfiniment par $up^{\mu -1}$ . Soit $k$ une valeur de l’expression ${\frac {A}{m}}{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ , il ne sera pas divisible par $p$ ,

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