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RECHERCHES

$C=7$ et $D=1$, on trouve $V\equiv 3$, $5$ ou $7{\pmod {8}}$, soit que $x$ soit pair, soit qu’il soit impair, d’où il résulte évidemment que, dans ces cas, l’équation proposée n’admet aucune solution.

Au reste, comme après les changemens convenables, on peut chercher la valeur de $y$ de la même manière que nous avons cherché celle de $x$, on peut appliquer de deux manières la méthode d’exclusion au problème proposé (excepté dans le cas où $m=n=1$) ; on doit préférer celle pour laquelle $\omega$ contient un moindre nombre de termes, circonstance dont on peut facilement juger a priori.

Enfin, il est à peine nécessaire d’observer, que si après quelques exclusions, tous les nombres de $\omega$ disparaissent, on en doit conclure que l’équation proposée est impossible.

325. Exemple. Soit l’équation

$3x^{2}+455y^{2}=10857362,$

que nous résoudrons de deux manières, en cherchant d’abord les valeurs de $x$, et ensuite celles de $y$.

1^o. La limite des valeurs de $x$ est, dans ce cas, ${\sqrt {\left(3619120+{\frac {2}{3}}\right)}}$, qui tombe entre $1902$ et $1903$ : la valeur de l’expression ${\frac {A}{3}}{\pmod {455}}$ est $354,$ et les valeurs de l’expression ${\sqrt {354}}{\pmod {455}}$ sont

$\pm 82$,——$\pm 152$, ——$\pm 173$, ——$\pm 212\,;$

d’où il résulte que $\omega$ contient les trente-trois nombres suivans :

$82,152,173,212,243,282,303,373,537,607,628,667,$

$698,737,758,828,992,1062,1083,1122,1153,1192,$

$1213,1283,1447,1517,1538,1577,1608,1647,1668,$

$1738,1902.$

Le nombre $3$ ne peut être employé ici comme excluant, parcequ’il divise $m$.

Pour l’excluant $4$, on a $a=2$, $b=3$, d’où $\alpha =0$, $\beta =3$, $g=0$ ; les valeurs de ${\sqrt {g}}{\pmod {4}}$ sont $0$ et $2$ ; il suit de là que tous les nombres des formes $4t$ et $4t+2$, c’est-à-dire, tous les nombres pairs, doivent être rejetés. Désignons par $\omega '$ les seize qui restent.

Pour $E=5$, les racines des congruences $mz\equiv A-2n$,