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ARITHMÉTIQUES.

Examinons maintenant si l’on ne pourrait pas employer comme excluans des nombres premiers diviseurs de $m$, et des puissances de ces nombres. Soit $B$ la valeur de l’expression ${\frac {A}{n}}{\pmod {m}}$, il est clair que l’on a toujours $V\equiv B{\pmod {m}}$, quelque valeur que l’on prenne pour $x$ et que parconséquent pour que l’équation proposée soit possible, il est nécessaire que $B$ soit résidu quadratique de $m$. Ainsi, $p$ désignant un diviseur quelconque premier impair de $m$, qui, par hypothèse, ne doit diviser ni $n$, ni $A$, ni parconséquent $B$ ; $V$ sera résidu de $p$ pour une valeur quelconque de $x$, et partant, $p$ ni ses puissances ne peuvent être pris pour excluans.

Par une raison semblable, quand $m$ est divisible par $8$, il est nécessaire que l’on ait $B\equiv 1{\pmod {8}}$, pour que l’équation proposée soit possible ; donc pour une valeur quelconque de $x$, on aura $V\equiv 1{\pmod {8}}$, et partant, les puissances de $2$ ne peuvent servir d’excluans.

Quand $m$ est divisible par $4$ et non par $8$, on doit par la même raison avoir $B\equiv 1{\pmod {8}}$, et parconséquent la valeur de l’expression ${\frac {A}{n}}{\pmod {8}}$ est $1$ ou $5$ ; désignons-la par $C$. Il est facile de voir que, pour une valeur paire de $x$ on a $V\equiv C$ et $V\equiv C+4{\pmod {8}}$ pour une valeur impaire ; d’où il suit que l’on doit rejeter les valeurs paires quand $C=5$, et les valeurs impaires quand $C=1$.

Enfin, quand $m$ est divisible par $2$ et non par $4$, soit encore $C$ la valeur de l’expression ${\frac {A}{n}}{\pmod {8}}$, qui sera $1$, $3$, $5$ ou $7$, et $D$ la valeur de l’expression ${\frac {{\frac {1}{2}}m}{n}}{\pmod {4}}$, qui sera $1$ ou $3$. Comme la valeur de $V$ est toujours $\equiv C-2Dx^{2}{\pmod {8}}$, et partant $\equiv C$, si $x$ est pair, et $\equiv C-2D$, si $x$ est impair ; il est clair qu’on doit rejeter toutes les valeurs impaires de $x$, lorsque $C=1$ ; toutes les valeurs paires, quand $C=3$ et $D=1$, et quand $C=7$ et $D=3$, et que les valeurs conservées donnent toutes $V\equiv 1{\pmod {8}}$, c’est-à-dire, $V$ résidu de toute puissance de $2$. Quant aux autres cas, savoir, lorsque $C=5$ ou $3$ et $D=3$, lorsque