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RECHERCHES

la plus haute puissance de $p$ qui puisse diviser $n$ ^[1]. Soient $a$ , $b$ , $c$ , etc. les non-résidus quadratiques de $E$ (tous, quand $\mu =1$ , mais ceux seulement qui sont résidus des puissances inférieures, quand $\mu >1$ ). On cherchera les racines des congruences $mz\equiv A-na$ , $mz\equiv A-nb$ , $mz\equiv A-nc$ , etc. ${\pmod {Ep^{\nu }=p^{\mu +\nu }}}$ , que nous désignerons par $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , etc. ; et l’on voit facilement que si, pour une valeur de $x$ ; on a $x^{2}\equiv \alpha {\pmod {Ep^{\nu }}}$ , la valeur correspondante de $V$ sera $\equiv a{\pmod {E}}$ , c’est-à-dire, non-résidu de $E$ , et de même pour $\beta$ , $\gamma$ , etc. On voit aussi facilement, que si une valeur de $x$ rend $V\equiv a{\pmod {E}}$ , la même valeur rendra $x^{2}\equiv \alpha {\pmod {Ep^{\nu }}}$ , et que parconséquent toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $x^{2}$ n’est congru à aucun des nombres $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , etc., suivant le module $Ep^{\nu }$ , produisent des valeurs de $V$ qui ne sont congrues à aucun des nombres $a$ , $b$ , $c$ , etc., suivant le module $E$ . Cela posé, on choisira parmi les nombres $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , etc. tous ceux qui sont résidus quadratiques de $Ep^{\nu }$ , et les nommant $g$ , $g'$ , $g''$ , etc. on calculera les valeurs des expressions ${\sqrt {g}}$ , ${\sqrt {g'}}$ , ${\sqrt {g''}}$ , etc. ${\pmod {Ep^{\nu }}}$ , que nous désignerons par $h$ , $h'$ , $h''$ , etc. Il est évident que l’on peut rejeter de $/omega$ toutes les formes

Ep^{\nu }t\pm h

,——

Ep^{\nu }t\pm h'

, ——

Ep^{\nu }t\pm h''

,——etc.

et qu’aucune des valeurs de $x$ qui resteront ne peuvent répondre à une valeur de $V$ qui soit de la forme

Eu+a

,——

Eu+b

, ——

Eu+c

,——etc.

Au reste il est manifeste qu’aucune valeur de $x$ ne peut donner de telles valeurs de $V$ , quand aucun des nombres $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , etc. n’est résidu quadratique de $Ep^{\nu }$ , et que, dans ce cas, le nombre $E$ ne peut pas être employé comme excluant.

On peut employer ainsi autant d’excluans qu’on voudra, et parconséquent diminuer à volonté le nombre des valeurs de $x$ à essayer.

↑ Pour abréger, nous traitons à-la-fois le cas où $n$ est divisible par $p$ , et celui où il ne l’est pas ; dans le second, on doit faire $\nu =0$ .

[1] Pour abréger, nous traitons à-la-fois le cas où $n$ est divisible par $p$ , et celui où il ne l’est pas ; dans le second, on doit faire $\nu =0$ .

[1]