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ARITHMÉTIQUES.

$a=2$ , et où partant, $n$ est pair, aucune classe de $\omega$ ne peut appartenir à $G\ ;$ car alors cette classe serait contenue dans la période de $C\ ;$ et si on la représente par $C^{r}$ , il s’ensuivrait $C^{2r}=C$ , et partant, $2r\equiv 1{\pmod {n}}$ , ce qui est absurde. Ainsi, comme $G$ appartient à $g$ , toutes les classes $\omega$ seront nécessairement distribuées entre les genres $h$ . Puisque pour un déterminant régulier, $G$ contient $\varphi n$ classes dont les périodes sont de $n$ termes, il suit de ce qui précède que pour le cas où $a=2$ , il y a dans chaque genre $h$ , $2\varphi n$ classes dont la période contient $2n$ termes, et renferme parconséquent à-la-fois le genre de la classe et le genre principal. Mais quand $a=1$ , il y aura $\varphi n$ classes de cette espèce dans chaque genre différent du genre principal.

7^o . Nous établissons sur ces observations la méthode suivante, pour former le système de toutes les classes proprement primitives de déterminant régulier donné, car nous laissons absolument de côté les déterminans irréguliers. On prendra à volonté une classe $E$ , dont la période contienne $2n$ termes, et parconséquent le genre de cette classe que nous nommerons $V$ , et le genre principal $G$ , et l’on distribuera les classes de ces deux genres comme elles se présentent dans cette période. L’opération serait finie, quand il n’existera que ces deux genres, ou que l’on n’aura pas besoin de s’occuper des autres (par exemple, pour un déterminant négatif qui ne donne que deux genres positifs). Mais quand il y a quatre, ou un plus grand nombre de genres, on traitera les autres de la manière suivante. Soit $V'$ un des deux autres, et $V\times V'=V''$ . Il y aura dans $V'$ et $V''$ deux classes ambiguës, une dans chacun, ou deux dans l’une et aucune dans l’autre. On en prendra une $A$ à volonté, et l’on voit facilement que si l’on compose $A$ avec chacune des classes de $G$ et de $V$ , il en résultera $2n$ classes différentes qui appartiendront à $V'$ et $V''$ et épuiseront parconséquent ces deux genres, que l’on pourra disposer aussi de cette manière.

S’il y a plus de quatre genres, soit $V'''$ un des autres, et $V^{IV}$ , $V^{V}$ , $V^{VI}$ les genres qui résultent de la composition du genre $V'''$ avec les genres $V$ , $V'$ , $V''$ ; les quatre genres $V'''$ ……, $V^{VI}$ contiendront quatre classes ambiguës, et il est clair que si l’on prend

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