servations nous suffiront pour éclaircir ce sujet, qui semble cependant dépendre des plus profonds mystères de l’Arithmétique transcendante, et donner lieu aux recherches les plus difficiles ; nous commencerons par la suivante, qui est générale.
7o. Si dans le genre principal se trouvent deux classes , , dont les périodes sont composées de , termes, et que soit le plus petit nombre divisible par et par ; il y aura aussi dans le même genre une classe dont la période contiendra termes : si l’on décompose en deux facteurs et premiers entre eux dont l’un, , divise , et dont l’autre, , divise (no 73), la classe jouira de la propriété précitée. En effet, supposons que la période de la classe soit composée de termes, on aura
donc est divisible par , et partant par ou par . On prouve absolument de la même manière que est divisible par
donc il l’est par ; mais comme on a évidemment , est donc aussi divisible par , et partant . Il suit de là
que le plus grand nombre de classes qui puissent être contenues
dans une période pour un déterminant donné, est divisible par le
nombre de classes de toute autre période d’une classe du même
genre principal. On peut en même temps en déduire une méthode pour trouver la classe dont la période est la plus grande,
c’est-à-dire, pour les déterminans réguliers, la classe dont la période renferme tout le genre principal; cette méthode est absolument semblable à celle des nos 75 et 74 ; mais dans la pratique on peut l’abréger par plusieurs artifices. Le quotient de la division du nombre par le nombre de termes de la plus grande période, quotient qui est pour les déterminans réguliers, et plus grand que pour les déterminans irréguliers, est d’après cela très-commode pour exprimer les différentes espèces d’irrégularités, et par cette raison pourra être nommé exposant d’irrégularité.
8o. Jusqu’à présent il n’y a pas de règle générale qui puisse faire distinguer a priori les déterminans réguliers des irréguliers,
