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RECHERCHES

quelque différence qu’il y ait entre les extrêmes ; en ajoutant les nombres moyens qui, d’après la formule, appartiennent à ces déterminans. On trouve pour cette somme

$\gamma \left\{{\sqrt {D}}+{\sqrt {D+1}}\ +\ etc.+{\sqrt {D+m-1}}+\right\}+\delta m,$

ou ………${\frac {2}{3}}\gamma \left\{\left(D+m-{\frac {1}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-\left(D-{\frac {1}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}\right\}+\delta m$ à très-peu-près. Ainsi, par exemple, pour les cent déterminans compris de $-1$ à $-100$, la formule donne $481,1$, tandis que le nombre exact est $477$ ; les mille déterminans $-1$, $-1000$ donnent, d’après la table, $15533$ classes, et par la formule, $15551,4$ ; le second mille donne, d’après la table, $28603$, et par la formule, $28585,7$ ; de même le troisième mille donne effectivement $37092$, et par la formule, $37074,3$ ; enfin pour le dixième mille la table donne $72549$, et la formule, $72572$.

303. La table des déterminans négatifs, disposée d’après la diversité des classifications, fournit plusieurs autres observations remarquables. Pour les déterminans de la forme $-(8n+3)$, le nombre des classes contenues, tant dans chaque genre proprement primitif que dans l’ensemble de tous ces genres, est toujours divisible par $3$, le seul déterminant $-3$ excepté, ainsi qu’on peut le conclure du n^o 256, VI. Quant aux déterminans pour lesquels les formes ne composent qu’un seul genre, le nombre de classes est toujours impair ; en effet, comme pour un pareil déterminant il n’y a jamais qu’une classe ambiguë, qui est la classe principale, le nombre des autres classes qui seront opposées deux à deux sera nécessairement pair, et partant le nombre de toutes les classes sera impair. — Or la série des déterminans auxquels répond une même classification donnée, c’est-à-dire, un nombre donné de genres et de classes, paraît toujours finie ; nous allons faire appercevoir cette observation surprenante, dans quelques exemples. Dans la table suivante, le premier nombre, en chiffres romains, indique le nombre de genres proprement primitifs positifs ; le second, le nombre de classes contenues dans chaque genre ; toutes les autres forment la série des déterminans auxquels cette classification appartient.