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RECHERCHES

Cherchons, par exemple, toutes les manières de décomposer en trois quarrés le nombre $770$ , par lequel $\mu =3$ , $e=e'=0$ , et partant $E=2k$ ; par la classification des formes binaires positives de déterminant $-770$ , classification que chacun peut faire à l’aide de ce qui a été dit n^o 231, et que nous pouvons nous dispenser d’inscrire ici, on trouve qu’il y a trente-deux classes qui sont toutes proprement primitives et peuvent se distribuer en huit genres, desorte qu’on a $k=4$ et $E=8$ . Le genre dont le nombre caractéristique est $-1$ doit avoir, à l’égard des nombres $5$ , $7$ , $11$ , les caractères particuliers $R5$ ; $N7$ ; $N11$ : d’où (n^o 263) l’on conclut facilement que le caractère de ce genre, à l’égard du nombre $8$ , doit être $1$ et $3,8$ . Or le genre dont le caractère est $1$ et $3,8$ ; $R.5$ ; $N.7$ ; $N11$ , comprend quatre classes, pour représentantes desquelles nous prendrons les formes

(6,2,129),\quad (6,-2,129),\quad (19,3,41),\quad (19,-3,41)\,;

mais nous rejetons la seconde et la quatrième classes, comme opposées à la première et à la troisième. Or nous avons déjà donné (n^o 289) les quatre décompositions de la forme $(19,3,41)$ , il en résulte pour les décompositions du nombre $770$ en trois quarrés

9+361+400,\quad 16+25+729,\quad 81+400+289,\quad 576+169+25\,;

on trouve de la même manière, pour la forme $6t^{2}+4tu+129u^{2}$ , les quatre décompositions

$(t-8u)^{2}$	$+(2t+u)^{2}$	$+(t+8u)^{2}$ ,
$(t-10u)^{2}$	$+(2t+5u)^{2}$	$+(t+2u)^{2}$ ,
$(2t-5u)^{2}$	$+(t+10u)^{2}$	$+(t+2u)^{2}$ ,
$(2t+7u)^{2}$	$+(t-8u)^{2}$	$+(t-4u)^{2}$ ,

qui résultent des valeurs respectives

(48,369),\quad (62,-149),\quad (92,-159),\quad (202,61)

de l’expression ${\sqrt {-(6,-2,129)}}$ , et donnent les décompositions du nombre $770$ en

225+256+289,\quad 1+144+625,\quad 64+81+625,\quad 16+225+529.

Ces huit décompositions sont les seules que l’on puisse avoir.

Quant à ce qui regarde celles dans lesquelles les quarrés ont des diviseurs communs, l’application de la théorie générale du n^o 281 est trop facile pour qu’il soit nécessaire que nous nous y arrêtions.

293.