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ARITHMÉTIQUES.

de l’équivalence impropre, et a parconséquent mêlé avec les autres les formes opposées.

2^o . Pour trouver toutes les décompositions d’un nombre donné $M$ en trois quarrés premiers entre eux, il n’est pas nécessaire de chercher toutes les représentations propres des formes $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. En effet, on voit d’abord facilement que les quarante-huit représentations de la forme $\varphi =(p,q,r)$ qui appartiennent à la même valeur de l’expression ${\sqrt {-(p,-q,r)}}$, donnent la même décomposition du nombre $M$, et que parconséquent il suffit d’avoir une de ces représentations, ou, ce qui revient au même, de connaître les différentes décompositions^[1] de la forme $\varphi$ en trois quarrés. Il en est de même des formes $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. En outre, si $\varphi$ appartient à une classe non-ambiguë, on pourra ne pas s’occuper de la forme qui serait tirée de la classe opposée, c’est-à-dire que de deux classes opposées, il suffit d’en considérer une. Comme il est en effet indifférent de prendre telle ou telle forme dans chaque classe, supposons que dans la classe opposée à celle où est $\varphi$, on ait choisi la forme opposée à $\varphi$, que nous désignerons par $\varphi '$. On voit alors au premier abord, que si les décompositions propres de la forme $\varphi$ sont représentées indéfiniment par

$(gt+hu)^{2}+(g't+h'u)^{2}+(g''t+h''u)^{2},$

les décompositions de la forme $\varphi '$ le seront par

$(gt-hu)^{2}+(g't-h'u)^{2}+(g''t-h''u)^{2},$

qui donnent les mêmes décompositions du nombre $M$ que les premières. Enfin, dans le cas où la forme $\varphi$ est d’une classe ambiguë, sans être de la classe principale, ni équivalente à la forme $\left(2,0,{\frac {1}{2}}M\right)$ ou à la forme $\left(2,1,{\frac {1}{2}}(M+1)\right)$ (suivant que $M$ est pair ou impair), on pourra omettre la moitié des valeurs de l’expression ${\sqrt {-(p,-q,r)}}$ ; mais pour abréger nous ne donnerons pas plus de détails sur cette simplification. — Au reste, on peut employer ces simplifications, même quand on veut avoir les représentations propres de $M$ par $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, puisque l’on déduit facilement celles-ci dès qu’on a les décompositions.

1. On doit toujours sous-entendre décompositions propres, en transportant cette expression des représentations aux décompositions.