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RECHERCHES

équivaudra à six, à douze ou à huit représentations. Or cela ne peut arriver que dans les cas particuliers où $M=1$, ou $2$, ou $3$ respectivement, tant que les représentations doivent être propres. Excluons ces trois cas ; désignons par $E$ le nombre total des décompositions du nombre $M$ en trois quarrés qui n’aient de commun diviseur, et supposons que parmi ces décompositions il y en ait $e$ dans lesquelles un des quarrés soit nul, et ë dans lesquelles deux des quarrés soient égaux : on peut regarder les premières comme des décompositions en deux quarrés, et les dernières comme des décompositions en un quarré et le double d’un quarré. Alors le nombre total des représentations du nombre $M$ par $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ sera

$24(e+e')+48(E+e-e')=48E-24(e+e').$

Mais de la théorie des formes binaires on déduit facilement que $e$ sera ou $=0$, ou $=2^{\mu -1}$, suivant que $-1$ est non-résidu, ou résidu quadratique de $M$, et que $e'$ sera $=0$ , ou $2^{\mu -1}$, suivant que $-2$ est non-résidu ou résidu de $M$, $\mu$ étant le nombre des facteurs premiers impairs de $M$ (n^o 182) ; nous supprimons le développement de cette conséquence : il suit de là que l’on a

$E=2^{\mu -2}.k$,          si $-1$ et $-2$ sont non-résidus de $M$ ;

$E=2^{\mu -2}(k+1)$, si l’un des deux est résidu, et l’autre non-résidu ;

$E=2^{\mu -2}(k+2)$, si $-1$ et $-2$ sont résidus de $M$.

Ces formules ne sont pas applicables aux cas où $M=1$ ou $2$, car elles donnent $E={\frac {3}{4}}$, tandis que l’on doit avoir $E=1$ ; mais pour $M=3$ on trouve $E=1$, parceque les exceptions se compensent.

Toutes les fois que $M$ est un nombre premier, on a $\mu =1$, et partant,

$E={\frac {1}{2}}(k+2)$, si $M\equiv 1{\pmod {8}}$.

$E={\frac {1}{2}}(k+1)$, si $M\equiv 3$ ou $\equiv 5{\pmod {8}}$. ——(n^os 108 et 116),

Legendre a découvert par induction ces théorèmes particuliers, et les a consignés dans le Mémoire que nous avons déjà cité souvent avec éloge. (Hist. de l’Acad. de Paris, 1785, p. 530 et suivantes). S’ils sont présentés sous une forme un peu différente, c’est que ce savant géomètre n’a pas distingué l’équivalence propre