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ARITHMÉTIQUES.

$-2$ s’accordent parfaitement avec les autres, quant au nombre des représentations par la forme ternaire $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ; en effet, comme dans les deux cas on a $\mu =0$ , la formule donnée au numéro précédent, 4^o , conduit à vingt-quatre représentations. Cela vient de ce que les deux exceptions auxquelles elles sont sujettes se compensent mutuellement.

Nous omettons, pour abréger, d’appliquer à la forme la théorie générale des représentations impropres exposée au n^o 284.

291. La recherche des représentations d’un nombre donné positif $M$ , par la forme est d’abord ramenée, par le n^o 281, à la recherche des représentations du nombre $-M$ par la forme $-x^{2}-y^{2}-z^{2}=f.$ Or on trouve ces dernières par les procédés du n^o 280, ainsi qu’il suit :

1^o . On cherchera toutes les classes de formes binaires de déterminant $-M,$ dont les formes peuvent être représentées proprement par la forme $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=F,$ qui a $f$ pour adjointe. Quand $M\equiv 0,$ $4$ ou $7$ (n^o 288) il n’existe point de telles classes, et parconséquent le nombre $M$ ne peut pas être décomposé en trois quarrés qui n’aient pas de diviseur commun^[1]. Mais quand $M\equiv 1,$ $2,$ $5$ ou $6,$ il aura un genre positif proprement primitif, et quand , un genre improprement primitif, qui renfermera toutes ces classes dont nous représenterons le nombre par $k$ .

2^o . De chacune de ces classes on tirera à volonté une forme ; soient ces formes $\varphi ,$ $\varphi ',$ $\varphi '',$ etc. On cherchera les représentations propres de chacune d’elles par $F,$ le nombre en sera $3.2^{\mu +3}k=K,$ $\mu$ étant le nombre des facteurs premiers impairs de $M.$ Chaque représentation de cette espèce, telle que

X=mt+nu,\quad Y=m't+n'u,\quad Z=m''t+n''u,

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↑ Cette impossibilité se manifeste d’elle-même ; en effet, la somme de trois quarrés impairs est évidemment $\equiv 3{\pmod {8}}\,;$ la somme de deux impairs et d’un pair est $\equiv 2$ ou $\equiv 6\,;$ la somme d’un pair et de deux impairs est $\equiv 1$ ou $\equiv 5\,:$ enfin la somme de trois pairs est $\equiv 0$ ou $\equiv 4\,;$ ; mais dans le dernier cas, la représentation est évidemment impropre.

[1] Cette impossibilité se manifeste d’elle-même ; en effet, la somme de trois quarrés impairs est évidemment $\equiv 3{\pmod {8}}\,;$ la somme de deux impairs et d’un pair est $\equiv 2$ ou $\equiv 6\,;$ la somme d’un pair et de deux impairs est $\equiv 1$ ou $\equiv 5\,:$ enfin la somme de trois pairs est $\equiv 0$ ou $\equiv 4\,;$ ; mais dans le dernier cas, la représentation est évidemment impropre.

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