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ARITHMÉTIQUES.

n’y a qu’une seule classe ambiguë proprement primitive et positive de déterminant $-151$, qui est la classe principale. Comme de la composition de la seule classe ambiguë négative $(-1,0,-151)$ avec la classe $(11,-5,16)$, il résulte la classe $(-11,-5,-16)$ ; celle-ci sera la seule classe négative dont la duplication donne la classe $(5,2,31)$.

3^o . Comme la solution du problème du n^o précédent prouve que toute classe de formes binaires qui est proprement primitive, positive et qui appartient au genre principal, résulte de la duplication d’une classe proprement primitive de même déterminant, le théorème du n^o 261, par lequel nous étions certains qu’il y avait au moins la moitié de tous les caractères assignables pour un déterminant $D$ non quarré, auxquels ne répondît aucun genre proprement primitif-positif, reçoit par là plus de développement ; puisque nous voyons qu’il y a moitié de ces caractères auxquels répondent des genres, et moitié auxquels il n’en répond aucun (Voyez la démonstration de ce théorème). Donc, puisque nous avons distribué (n^o 263) tous ces caractères assignables en deux espèces $P$ et $Q$, composées d’un même nombre, desquelles la dernière, $Q$, ne pouvait répondre aux formes proprement primitives positives, tandis qu’il était incertain si chaque caractère de l’espèce $P$ répondait effectivement à quelque genre ; maintenant il ne reste aucun doute qu’il n’y a aucun caractère de cette espèce auquel ne réponde un genre.

On déduit facilement aussi de là, pour le déterminant négatif dans l’ordre proprement primitif négatif, à l’égard duquel nous avons prouvé (n^o 264, 1^o ) qu’il n’y avait d’admissibles que les caractères $Q$, qu’ils le sont tous effectivement. Soit en effet $K$ un des caractères de $Q$, $f$ une forme quelconque de l’ordre proprement primitif négatif de déterminant $D$, et $K'$ son caractère, $K'$ appartiendra à l’espèce $Q$ ; donc le caractère composé de $K$ et $K'$, d’après le n^o 246, appartiendra à l’espèce $P$, et partant il y a des formes positives proprement primitives de déterminant $D$, qui lui répondent ; en composant donc une de ces formes avec la forme $f$, il en naîtra une proprement primitive négative de déterminant $D$ dont le caractère sera $K$.