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RECHERCHES

$x$	$x$	$x'$	$x'$	$x''$	$x''$	$=\pm (\delta y$	$+\epsilon y'$	$+\zeta y'')$
$x'$ …	$x''$ …	$x$ …	$x''$ …	$x$ …	$x'$	$=\pm (\delta 'y$	$+\epsilon 'y'$	$+\zeta 'y'')$
$x''$	$x'$	$x''$	$x$	$x'$	$x$	$=\pm (\delta ''y$	$+\epsilon ''y'$	$+\zeta ''y'')$ ,

avec cette différence que l’on doit employer les six colonnes lorsque $a=a'=a''$ ; la première et la seconde, quand $a'=a''$ ; la première et la troisième, quand $a=a'$ ; la première et la sixième, quand $a=a''$ ; enfin la première seule, quand $a$ , $a'$ , $a''$ sont tous inégaux, et il y aura dans le premier cas quarante-huit transformations, seize dans le second, le troisième et le quatrième, et huit dans le cinquième.

Après avoir exposé succinctement les premiers élémens des formes ternaires, nous allons passer à quelques applications particulières, parmi lesquelles le problème suivant mérite la première place.

286. Problème. Étant donnée une forme binaire $\mathrm {F=(A,B,C)}$ de déterminant $\mathrm {D}$ appartenant au genre principal, trouver une forme binaire $\mathrm {f}$ qui donne $\mathrm {F}$ par sa duplication.

1^o . On cherchera une représentation propre de la forme $(A,-B,C)=F'$ par la forme ternaire $x^{2}-2yz$ ; supposons qu’elle soit

x=\alpha T+\beta U

, ——

y=\alpha 'T+\beta 'U

, ——

z=\alpha ''T+\beta ''U.

Il est aisé de voir, par la théorie précédente, que la chose est toujours possible. En effet, $F$ étant, par hypothèse, du genre principal, on pourra trouver une valeur de l’expression ${\sqrt {(A,B,C)}}{\pmod {D}}$ (n^o 233, 6^o ), et parconséquent une forme ternaire $\varphi$ de déterminant $1$ , dans laquelle la forme $(A,-B,C)$ entre comme partie, et dont l’on voit facilement que fous les coefficiens sont entiers. Il est également clair que la forme $\varphi$ doit être indéfinie, puisque, par hypothèse, $F$ n’est certainement pas une forme négative ; donc $\varphi$ sera équivalente à la forme $x^{2}-2yz$ , on pourra parconséquent assigner une transformation de $x^{2}-2yz$ en $\varphi$ , qui fournira une représentation propre de $F'$ par la forme $x^{2}-2yz$ ; d’ailleurs on aura $A=\alpha ^{2}-2\alpha '\alpha ''$ , $-B=\alpha \beta -\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '$ , $C=\beta ^{2}-2\beta '\beta ''$ ; d’où l’on voit qu’en faisant $\alpha \beta '-\alpha '\beta =a$ ,