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RECHERCHES

$ex+k\equiv 0{\pmod {f}}$ ; il suit de là que si $\nu$ est une des valeurs de $x$, la congruence $x\equiv \nu {\pmod {f}}$, donne la résolution complète de la proposée.

30. Quand le module est composé, il est toujours avantageux d’employer la méthode suivante :

Soit le module $=mn$, et la congruence proposée $ax\equiv b$. Résolvons d’abord la congruence suivant le module $m$, et supposons qu’elle soit satisfaite si $x\equiv \nu {\pmod {\frac {m}{\delta }}}$ ; $\delta$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $m$ et $a$. Or il est évident que toute valeur de $x$ qui satisfera à la congruence $ax\equiv b{\pmod {mn}}$, satisfera aussi à la congruence $ax\equiv b{\pmod {m}}$, et que partant elle sera comprise dans la formule $\nu +{\frac {m}{\delta }}x'$, $x'$ désignant un nombre indéterminé. La réciproque de cette proposition n’est pas vraie ; $x'$ doit donc être déterminé de manière à rendre $\nu +{\frac {m}{\delta }}x'$, racine de la congruence $ax\equiv b{\pmod {mn}}$ ; on aura donc ${\frac {amx'}{\delta }}+a\nu \equiv b{\pmod {mn}}$ ou ${\frac {am}{\delta }}x'\equiv {\frac {b-a\nu }{m}}{\pmod {n}}$. Il suit de là que la résolution d’une congruence quelconque du premier degré, suivant le module $mn$, peut se ramener à celle de deux congruences, suivant les modules $m$ et $n$. On voit facilement que si $n$ est lui-même le produit de deux facteurs, la solution de la congruence, suivant le module $n$, dépend de la solution de deux congruences dont ces facteurs sont les modules ; et généralement, que la résolution d’une congruence suivant un module composé quelconque, dépend de la résolution d’autres congruences, dont les modules sont les facteurs du premier. Ces modules peuvent être choisis de manière à être des nombres premiers, si on le trouve plus commode.

Soit par exemple la congruence $19x\equiv 1{\pmod {140}}$ ; si on la résout d’abord suivant le module $2$, on aura $x\equiv 1{\pmod {2}}$ ; en faisant $x=1+2x'$, il viendra $38x'\equiv -18{\pmod {140}}$ ou $19x'\equiv -9{\pmod {70}}$. Si l’on résout celle-ci encore suivant le module $2$, on aura $x'\equiv 1{\pmod {2}}$, et en posant $x'=1+2x''$, on aura $38x''\equiv -28{\pmod {70}}$ ou $19x''\equiv -14{\pmod {35}}$. Cette congruence résolue suivant le module $5$, donne $x''\equiv 4{\pmod {5}}$ ; prenant $x''=4+5x'''$, il vient