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ARITHMÉTIQUES.

2^o. Quand parmi les nombres $a$ , $a'$ , $a''$ il y en a deux égaux, $a'$ et $a''$ , par exemple, supposons d’abord $a<a'$ . Alors, de la même manière que dans le cas précédent, on aura $\alpha '=0$ , $\alpha ''=0$ , $\alpha =\pm 1$ , $\beta =0$ , $\gamma =0$ ; les équations 2, 3, 6 deviennent $\beta '^{2}+\beta ''^{2}=1$ , $\gamma '^{2}+\gamma ''^{2}=1$ , $\beta '\gamma '+\beta ''\gamma ''=0$ ; d’où l’on tire $\beta '=0$ , $\beta ''=\pm 1$ , $\gamma '=\pm 1$ , $\gamma ''=0$ , ou $\beta '=\pm 1$ , $\beta ''=0$ , $\gamma '=0$ , $\gamma ''=\pm 1$ . Mais si $a>a'$ , les équations 2 et 3 donnent $\beta =0$ , $\gamma =0$ et $\beta '=0$ , $\beta ''=\pm 1$ , $\gamma '=\pm 1$ , $\gamma ''=0$ , ou $\beta '=\pm 1$ , $\beta ''=0$ , $\gamma '=0$ , $\gamma ''=\pm 1$ ; l’une ou l’autre supposition donnent, par les équations 4 et 5, $\alpha '=0$ , $\alpha ''=0$ , et par l’équation 1, $\alpha =\pm 1$ . Ainsi dans les deux cas il y a seize transformations différentes. Les deux autres cas où $a=a'',$ ou bien $a=a'$ se résolvent de la même manière, pourvu qu’on change $\alpha$ , $\alpha '$ , $\alpha ''$ , pour le premier cas, en $\beta$ , $\beta '$ , $\beta ''$ ; pour le second, en $\gamma$ , $\gamma '$ , $\gamma ''$ respectivement.

3^o. Quand les nombres $a$ , $a'$ , $a''$ sont égaux, les équations 1, 2, 3 exigent que des nombres $\alpha$ , $\alpha '$ , $\alpha ''$ , ainsi que des nombres $\beta$ , $\beta '$ , $\beta ''$ , et des nombres $\gamma ,$ $\gamma ',$ $\gamma ''$ deux soient égaux à zéro et le troisième égal à $\pm 1$ ; or, par les équations 4, 5, 6, on voit qu’il ne peut y avoir qu’un seul nombre $=\pm 1$ parmi $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , ou $\alpha '$ , $\beta '$ , $\gamma '$ , ou $\alpha ''$ , $\beta ''$ , $\gamma ''$ . Il ne reste que six combinaisons.

$\alpha$	$\alpha$	$\alpha '$	$\alpha '$	$\alpha ''$	$\alpha ''$	$=\pm 1$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$
$\beta '$ …	$\beta ''$ …	$\beta$ …	$\beta ''$ …	$\beta$ …	$\beta '$	$=\pm 1$		, et les six autres coefficiens $=0$ ;
$\gamma ''$	$\gamma '$	$\gamma ''$	$\gamma$	$\gamma '$	$\gamma$	$=\pm 1$

desorte que par l’ambiguïté des signes il y a en tout quarante-huit transformations. — Le même tableau renferme aussi les cas précédens ; mais des six colonnes il ne faut prendre que la première, quand $a$ , $a'$ , $a''$ sont tous inégaux ; la première et la seconde, quand $a'=a''$ ; la première et la troisième, quand $a=a'$ ; la première et la sixième, quand $a=a''$ .