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RECHERCHES

On tirera de là $B=\eta k'+kk'N$, $B'=\zeta k'D+kk'N'$, et partant, comme $kk'=\pm 1$, $B\equiv N$, $B'\equiv N'$, ou $B\equiv -N$, $B'\equiv -N'{\pmod {D}}$. Dans le premier cas, les valeurs de $(B,B')$, $(N,N')$ seront dites équivalentes ; dans le second, opposées. Nous dirons aussi d’une représentation de la forme $\varphi$, qu’elle appartient à la valeur de ${\sqrt {\Delta (p,-q,r)}}$, lorsqu’on peut l’en déduire par la méthode (I). Ainsi toutes les valeurs auxquelles appartient la même représentation sont équivalentes ou opposées.

III. Réciproquement, si une représentation de $\varphi$ par $f$ est $\alpha t+\beta u$, etc., et appartient à la valeur $(B,B')$, qu’on en déduit à l’aide de la transformation

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma '',$

elle appartiendra à toute autre valeur $(N,N')$ qui lui sera équivalente ou opposée ; c’est-à-dire, qu’au lieu des nombres $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$, on pourra prendre d’autres nombres $\delta$, $\delta '$, $\delta ''$, pour lesquels l’équation

$(\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta ')\delta +(\alpha ''\beta -\alpha \beta '')\delta '+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\delta ''=\pm 1$……Ω

ait lieu, et tels que les coefficiens $4$ et $5$ de la forme adjointe à celle en laquelle $f$ se change par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\delta$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\delta '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\delta '',$

soient respectivement égaux à $N$, $N'$. Soit, en effet, $\pm B=N+\eta D$, $\pm B'=N'+\zeta D$, en prenant ici et après les signes supérieurs ou inférieurs, suivant que les valeurs $(B,B')$, $(N,N')$ sont équivalentes ou opposées, $\zeta$, $\eta$ seront entiers, et si la forme $g$ se change par la substitution

$1$, $0$, $\zeta$ ; ——$0$, $1$, $\eta$ ;—— $0$, $0$, $\pm 1,$

en la forme $h$. On verra sans peine que le déterminant de $h$ est $\Delta$, et que les coefficiens $4$ et $5$ de sa forme adjointe sont $N$, $N'$. Or en faisant

$\alpha \zeta +\beta \eta \pm \gamma =\delta$, -$\alpha '\zeta +\beta '\eta \pm \gamma '=\delta '$,- $\alpha ''\zeta +\beta ''\eta \pm \gamma ''=\delta '',$

on verra sans peine que $f$ se change en $h$ par la substitution S, et que l’équation ${\displaystyle }$ est satisfaite.

283. On déduit de ces principes la méthode suivante, pour trouver

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