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RECHERCHES

Soient $p$, $q$ les indéterminées de la forme $\chi$ ; supposons que $\varphi$ se change en $\chi$ par la substitution propre $t=\alpha p+\beta q$, $u=\gamma p+\delta q$, et que la forme $\varphi$ soit représentée par $f$, en faisant

$x=mt+nu$, ——$x'=m't+n'u$, ——$x''=m''t+n''u$……(R)

On voit sans peine que si l’on fait

$\alpha m+\gamma n=g$,——	$\alpha m'+\gamma n'=g'$,——	$\alpha m''+\gamma n''=g''$,
$\beta m+\delta n=h$,——	$\beta m'+\delta n'=h'$,——	$\beta m''+\delta n''=h''$,

la forme $\chi$ sera représentée par $f$, en posant

$x=gp+hq$, ——$x'=g'p+h'q$, ——$x''=g''p+h''q$……(R')

et l’on trouve $g'h''-h'g''=m'n''-m''n'$, $g''h-gh''=m''n-mn''$, $gh'-g'h=mn'-m'n$, en observant que $\alpha \delta -\beta \gamma =1$. Donc la même représentation de $D$ par $F$ est adjointe aux représentations $R$ et $R'$.

Ainsi, dans l’exemple précédent on trouve que la forme $\varphi$ équivaut à la forme $\chi =13p^{2}-10pq+18q^{2}$, en laquelle elle se change par la substitution propre $t=-3p+q$, $u=5p-2q$ ; de là on trouve pour la représentation de $\chi$ par $f$ : $x=4q$ $x'=-3p+q$, $x''=2p-q$, qui donne pour le nombre $-209$ la représentation dont nous étions partis.

3^o. Si deux formes $\varphi$, $\chi$ de déterminant $D$, dont les indéterminées sont $t,$ $u\ ;$ $p,$ $q$ peuvent être représentées par $f$, et que la même représentation de $D$ par $F$ soit à-la-fois adjointe à une représentation de $\varphi$ par $f$, et à une représentation de $\chi$ par $f$ ; ces deux formes seront nécessairement équivalentes.

Supposons que $\varphi$ soit représentée par la forme $f$, en faisant $x=mt+nu,$ $x'=m't+n'u,$ $x''=m''t+n''u,$ et $\chi$ en faisant $x=gp+hq,$ $x'=g'p+h'q,$ $x''=g''p+h''q.$ Supposons en outre qu’on ait

$m'n''-m''n'$	——$=g'h''-g''h'$——	$=L$,
$m''n-mn''$	——$=g''h-gh''$——	$=L'$,
$mn'-m'n$	——$=gh'-g'h$——	$=L''$,

on prendra les nombres entiers $l$, $l'$, $l''$ tels que l’on ait $Ll+L'l'+L''l''=1$, on fera

$n'l''-n''l'=M$,	——$n''l-nl''=M'$,——	$nl'-n'l=M''$,
$l'm''-l''m'=N$,	——$l''m-lm''=N'$,——	$lm'-l'm=N''$,

$gM+g'M'+g''M''=\alpha$,	——$hM+h'M'+h''M''=\beta$,
$gN+g'N'+g''N''=\gamma$,	——$hN+h'N'+h''N''=\delta$ ;