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RECHERCHES

4^o. Distinguer si une forme donnée renferme ou non une autre forme ternaire donnée ; et dans le premier cas, trouver toutes les transformations de la première en la seconde.

Nous traiterons plus en détail dans un autre lieu, ces problèmes qui sont bien plus difficiles que leurs analogues dans la théorie des formes binaires ; nous nous bornerons ici à faire voir comment le premier problème peut se réduire au second, et le second au troisième, nous donnerons la solution du troisième pour quelques-uns des cas les plus simples, et qui peuvent éclairer la théorie des formes binaires. Mais nous excluons absolument le quatrième problème.

279. Lemme. Étant proposés trois nombres entiers quelconques $a$ , $a'$ , $a''$ qui cependant ne soient pas tous $=0$ , trouver six autres nombres $B$ , $B'$ , $B''$ , $C$ , $C'$ , $C''$ , tels qu’on ait $B'C''-B''C'=a$ , $B''C-BC''=a'$ , $BC'-B'C=a''$ .

Soit $\alpha$ le plus grand diviseur commun des nombres $a$ , $a'$ , $a''$ , et les nombres entiers $A$ , $A'$ , $A''$ , tels que l’on ait $Aa+A'a'+A''a''=\alpha$ . Prenons à volonté trois nombres entiers $\Gamma$ , $\Gamma '$ , $\Gamma ''$ , avec cette seule condition que les trois nombres $\Gamma 'A''-\Gamma ''A'$ , $\Gamma ''A'-\Gamma A''$ , $\Gamma A'-\Gamma 'A$ que nous représenterons par $b$ , $b'$ , $b''$ , et leur plus grand commun diviseur par $\beta$ , ne soient pas tous $=0$ . Posant alors $a'b''-a''b'=\alpha \beta C$ , $a''b'-ab''=\alpha \beta C'$ , $ab'-a'b=\alpha \beta C''$ , il est clair que $C$ , $C'$ , $C''$ sont entiers. Et si l’on prend des nombres entiers $K$ , $K'$ , $K''$ tels que $Kb+K'b'+K''b''=\beta$ , en posant $Ka+K'a'+K''a''=\alpha h$ , et prenant $B=\alpha k-hA$ , $B'=\alpha k'-hA'$ , $B''=\alpha k''-hA''$ , les valeurs de $B$ , $B'$ , $B''$ , $C$ , $C'$ , $C''$ satisfont aux équations proposées.

En effet, on trouve $aB+a'B'+a''B''=0$ , $bA+b'A'+b''A''=0$ , d’où $bB+b'B'+b''B''=\alpha \beta$ . Or des valeurs de $C'$ , $C''$ , on tire

	$\alpha \beta (B'C''-B''C')$
$=$	$ab'B'-a'bB'-a''bB''+ab''B''$
$=$	$a(bB+b'B'+b''B'')-b(aB+a'B'+a''B'')$
$=$	$a\alpha \beta$ ;

donc $B'C''-B''C'=0$ ; de même $B''C-BC''=a'$ , $BC'-B'C=a''$ .

Nous sommes forcés au reste de supprimer ici l’analyse qui a conduit à cette solution, ainsi que la méthode par laquelle on déduit toutes les solutions d’une seule.

280. Supposons que la forme binaire $at^{2}+2btu+cu^{2}=\varphi$ dont