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RECHERCHES

Au reste, le nombre de classes est dans ces trois cas beaucoup moindre que le nombre des formes. En effet, on s’assure facilement

1^o. Que la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&0\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&0\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&-1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, par les substitutions

$1$,	$0$,	$0$ ; -	$0$,	$1$,	$0$ ; -	$0$,	$0$,	$-1$	……-	$0$,	$0$,	$1$ ; -	$0$,	$1$,	$-1$ ; -	$\pm 1$,	$1$,	$0$-
$0$,	$0$,	$1$ ; -	$0$,	$1$,	$1$ ; -	$\pm 1$,	$-1$,	$-1$	……-	$1$,	$0$,	$-1$ ; -	$1$,	$1$,	$-1$ ; -	$0$,	$-1$,	$1$. -

La forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ par la seule permutation des indéterminées. Ainsi ces dix formes de déterminant $1$ se réduisent aux deux : ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&0\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ ; pour la première, on peut, si l’on veut, prendre la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Or la première forme étant indéfinie et la seconde définie, il s’ensuit que toute forme ternaire indéfinie de déterminant $1$ équivaut à la forme $x^{2}+2yz$ et toute forme définie, à la forme $-x^{2}-y^{2}-z^{2}$.

2^o. On trouve absolument de la même manière, que toute forme ternaire indéfinie de déterminant $-1$ équivaut à la forme $-x^{2}+2yz$, et toute forme définie, à la forme $x^{2}+y^{2}+z^{2}$.

3^o. Pour le déterminant $2$, on peut sur-le-champ rejeter des huit formes (II) la seconde, la sixième et la septième, qui proviennent de la première par la seule permutation des indéterminées ; par la même raison, la cinquième, qui naît de la troisième, et la huitième, qui naît de la quatrième. Les trois qui restent avec les six formes (I) déterminent trois classes ; en effet, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&+1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ par substitution $1,\ 0,\ 0\ ;\,0,\ 1,\ 0\ ;\,0,\ 0,\ -1$, et la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&1\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&1\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&-1\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&-1\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, par les substitutions respectives

$1$,	$0$,	$1$ ; -	$1$,	$2$,	$0$ ; -	$1$,	$1$,	$0$	……-	$1$,	$0$,	$-1$ ; -	$1$,	$2$,	$0$ ; -	$1$,	$1$,	$0$-
$1$,	$1$,	$0$ ; -	$1$,	$2$,	$-1$ ; -	$1$,	$1$,	$-1$	……-	$1$,	$0$,	$0$ ; -	$1$,	$2$,	$1$ ; -	$1$,	$1$,	$1$ -
$1$,	$0$,	$0$ ; -	$0$,	$1$,	$2$ ; -	$0$,	$1$,	$1$.

${\displaystyle }$

Ainsi