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RECHERCHES

4^o . Si donc on applique alternativement la première et la seconde réduction à une forme donnée de déterminant $D$, c’est-à-dire qu’on lui applique la première ou la seconde, à celle qui en résulte la seconde ou la première, à celle qui en résulte de nouveau la première ou la seconde, etc., il est évident qu’on arrivera nécessairement à une forme à laquelle on ne pourra plus appliquer ni l’une ni l’autre, sans quoi on aurait deux suites de nombres entiers continuellement décroissans. Nous sommes donc parvenus à ce théorème important : Toute forme ternaire de déterminant $\mathrm {D} ,$ peut être réduite à une autre équivalente dont le premier coefficient ne soit pas plus grand que $\mathrm {{\frac {3}{4}}{\sqrt[{3}]{D}}} ,$ et telle que le troisième coefficient de la forme adjointe ne soit pas plus grand que $\mathrm {{\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{D^{2}}}} ,$ sans avoir égard au signe, à moins que la forme proposée ne jouisse déjà de ces deux propriétés.

Au reste, au lieu du premier coefficient de la forme $f$, et du troisième de la forme adjointe, nous aurions pu traiter absolument de la même manière, le premier coefficient de $f$ et le second de la forme adjointe, ou le second de $f$ et le premier ou le troisième de la forme adjointe, ou le troisième de $f$ et le premier ou le second de la forme adjointe, et nous serions arrivés de même à notre but ; mais il vaut mieux s’en tenir à une méthode unique, afin de pouvoir ramener plus facilement les opérations à un algorithme fixe. Nous observons enfin que les deux coefficiens que nous avons appris à abaisser au-dessous de limites fixes, peuvent avoir encore des limites moindres, si l’on distingue les formes finies des formes indéfinies. Mais cela n’est pas nécessaire pour ce que nous nous proposons.

273. Voici quelques exemples qui éclairciront ce qui précède.

Exemple I. Soit $f={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}19,&21,&50\\15,&28,&1\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, on aura $f={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-825,&-166,&-398\\257,&573,&-370\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ et $D=-1$. Comme $(19,1,21)$ est une forme binaire réduite qui n’a pas de forme équivalente dont le premier terme soit moindre que $19$, la première réduction n’est pas applicable ici ; mais la forme binaire $(A'',B,A')=(-398,257,-166)$ se change en $(-2,1,-10)$ qui lui est équivalente, par la substitution $2$, $7$, $3$, $11$. Ainsi, en faisant $\beta '=2$, $\gamma '=-7$, $\beta ''=-3$, $\gamma ''=-11$, on aura pour la forme $f$, la substitution