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RECHERCHES

forme $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}A,&A',&A''\\B,&B',&B''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, que nous appellerons adjointe de la forme $f$. Ces relations donnent aussi les suivantes, en représentant par $D$ le nombre

$ab^{2}+a'b'^{2}+a''b''^{2}-aa'a''-2bb'b'',$

$B^{2}-A'A''=aD,$	$B'^{2}-AA''=a'D,$	$B''^{2}-AA'=a''D,$
$AB-B'B''=bD,$	$A'B'-BB''=b'D,$	$A''B''-BB'=b''D\ ;$

d’où il suit que la forme $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}aD,&a'D,&a''D\\bD,&b'D,&b''D\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ est adjointe à la forme $F.$ Nous appellerons déterminant de la forme $f$, le nombre $D$ de la nature duquel dépendent principalement les propriétés des formes ternaires. De cette manière, le déterminant de la forme $F$ est $D^{2}$, ou égal au quarré du déterminant de la forme à laquelle elle est adjointe.

Ainsi, par exemple, la forme ternaire $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}29,&13,&\ 9\\7,&-1,&14\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ a pour adjointe $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-68,&-260,&-181\\217,&\ -111,&\;133\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, et elles ont toutes deux pour déterminant, $1$.

Nous excluons de nos Recherches les formes ternaires dont le déterminant est $0$, que nous traiterons plus en détail dans une autre occasion, et qui ne sont ternaires qu’en apparence, se réduisant, comme on le verra, à des formes binaires.

268. Si une forme ternaire $f$, dont les indéterminées sont $x$, $x'$, $x''$, et le déterminant $D$, se change en une forme ternaire $g$, dont le déterminant est $E$, par la substitution

$x=\alpha y+\beta y'+\gamma y'',\quad x'=\alpha 'y+\beta 'y'+\gamma 'y'',\quad x''=\alpha ''y+\beta ''y'+\gamma ''y'',$

où les coefficiens $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\alpha '$, etc. sont supposés des nombres entiers, nous dirons, pour abréger, que la forme $f$ se change en $g$ par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; $\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma ''$ ……… (S)

et que $f$ renferme $g$, ou que $g$ est contenu dans $f$. De cette supposition dérivent six équations pour les six coefficiens de $g$, qu’il est inutile de transcrire ici, et d’où l’on déduit facilement les conclusions suivantes :