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RECHERCHES

$P$, $Q$, $R$, etc. étant des nombres premiers différens ou des puissances de nombres premiers différens, dont le nombre est $n$ ; les valeurs de $A$ seront : $1$, $P$, $Q$, $R$,… $PQ$, $PR$, $QR$,… $PQR$…, et en général le produit d’autant de ces nombres qu’on voudra ; or, par la théorie des combinaisons, le nombre total de ces produits est $2^{n}$, mais il faut le doubler, parceque chaque valeur de $A$ peut être prise avec le signe $+$ ou le signe $-$.

2^o . On voit de même que toutes les formes proprement primitives $(2B,B,C)$ de déterminant $D$ s’obtiennent en prenant pour $B$ tous les diviseurs de $D$, pour lesquels $C={\frac {1}{2}}\left(B-{\frac {D}{B}}\right)$ est entier et premier avec $2B$ ; ainsi, comme $C$ doit nécessairement être impair, et que partant $C^{2}\equiv 1{\pmod {8}}$ ; comme d’ailleurs on a $D=B^{2}-2BC=(B-C)^{2}-C^{2}$, on aura $D\equiv 3{\pmod {4}}$ si $B$ est impair, et $\equiv 0{\pmod {8}}$ si $B$ est pair. Ainsi, toutes les fois que $D$ sera congru à l’un des nombres : $1$, $2$, $4$, $5$, $6$, suivant le module $8$, il n’y aura aucune forme de cette espèce.

Quand $D\equiv 3{\pmod {4}}$, $C$ est entier et impair, quel que soit le diviseur de $D$ que l’on prenne pour $B$ ; mais pour que $C$ n’ait pas de diviseur commun avec $2B$, $B$ doit être pris de manière que ${\frac {D}{B}}$ soit premier avec $B$ : donc pour $D=-1$ il y a deux formes de cette espèce $(2,1,1)$, $(-2,-1,-1)$, et en général on voit facilement que si le nombre de tous les diviseurs premiers de $D$ est $n$, il y aura en tout $2^{n+1}$ formes.

Quand $D\equiv 0{\pmod {8}}$, $C$ est entier toutes les fois que l’on prend pour $B$ un diviseur pair de ${\frac {1}{2}}D$ ; quant à la condition qui exige que $C$ soit premier avec $2B$, on y satisfera de deux manières, 1^o. en prenant pour $B$ tous les diviseurs impairement pairs de ${\frac {1}{2}}D$, pour lesquels ${\frac {D}{B}}$ est premier avec ${\frac {B}{2}}$, et dont le nombre est $2^{n+1}$, si le nombre total des diviseurs de $D$ est $n$, et que l’on fasse attention au double signe. 2^o. En prenant pour $B$ tous les diviseurs pairement pairs de ${\frac {1}{2}}D$, pour lesquels ${\frac {D}{2B}}$ est premier avec ${\frac {1}{2}}B$ ; leur nombre est aussi $2{n+1}$ ; desorte qu’on a en tout pour ce cas $2^{n+2}$ formes. C’est-à-dire, que si l’on pose $D=\pm 2^{\mu }PQR$, etc.,

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