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RECHERCHES

Pour $D=13$, $A=2$, le nombre des formes proprement primitives de $V$, etc. est $3$, qui sont toutes équivalentes et ne donnent qu’une seule classe.

Pour $D=37$, $A=2$, le nombre des formes est $3$, qui appartiennent à trois classes différentes. Pour $D=588$, $A=7$, il y a $8$ formes qui fournissent quatre classes. Pour $D=867$, $A=17$, il y a dix-huit formes et deux classes. Pour $D=1445$ et $A=17$, il y a également dix-huit formes, mais elles fournissent six classes.

VI, De l’application de cette théorie générale au cas où $O$ est l’ordre improprement primitif, il résulte que le nombre de classes contenues dans cet ordre est à celui de l’ordre proprement primitif comme $1$ est au nombre de classes différentes proprement primitives que donnent les trois formes $\left(1,0,-D\right)$, $\left(4,1,{\frac {1-D}{4}}\right)$, $\left(4,3,{\frac {9-D}{4}}\right)$. Or il en résultera une seule classe quand $D\equiv 1{\pmod {8}}$, parceque dans ce cas la deuxième et la troisième sont improprement primitives. Mais quand $D\equiv 5{\pmod {8}}$, ces trois formes seront improprement primitives et donneront autant de classes différentes si $D$ est négatif, excepté le cas où $D=-3$, dans lequel elles appartiennent à la même classe ; quant au cas où $D$ est positif de la forme $8n+5$, il appartient à ceux pour lesquels nous n’avons pas jusqu’à présent de règle générale. Nous pouvons cependant affirmer que ces trois formes donneront ou trois classes ou une seule, jamais deux ; car on voit sans peine que si les formes $\left(1,0,-D\right)$, $\left(4,1,{\frac {1-D}{4}}\right)$, $\left(4,3,{\frac {9-D}{4}}\right)$ appartiennent aux classes $K$, $K'$, $K''$, respectivement, on aura $K.K'=K'$ (n^o 243, 2^o), $K'.K'=K''$ (ibid. 5^o) ; donc si l’on supposait $K=K''$ on aurait aussi $K''=K$ ; et de même si $K$ et $K''$ étaient identiques, on aurait $K'=K''$ ; d’ailleurs on trouve $K'.K''=K$ ; donc si $K'$ et $K''$ étaient identiques, $K$ et $K''$ le seraient aussi. Ainsi les classes $K$, $K'$, $K''$ sont toutes différentes ou toutes identiques. Par exemple, au-dessous de $600$ il y a $75$ nombres de la forme $8n+5$, parmi lesquels se trouvent dix-sept déterminans auxquels se rapporte le premier cas, c’est-à-dire que le nombre de classes proprement primitives est trois fois plus grand que celui des classes improprement primitives ; ces déterminans sont : $37$, $101$, $141$, $189$, $197$, $269$, $325$, $333$, $349,$