Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/306

284

RECHERCHES

$V''$, etc. appartenantes à la même classe, et que la première se change en la seconde par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on aura les équations

$\alpha \delta -\beta \gamma =1,\quad h^{2}\alpha ^{2}+2i\alpha \gamma +k\gamma ^{2}=h'^{2},\quad h^{2}\alpha \beta +i(\alpha \delta +\beta \gamma )k\gamma \delta =i'.$

On conclut facilement de là que $\gamma$ n’est certainement pas $=0$ ; car on aurait $\alpha =\pm 1$, $h^{2}=h'^{2}$, $i'\equiv i{\pmod {h^{2}}}$, et partant, les formes $(h^{2},i,k)$, $(h'^{2},i',k')$ seraient identiques contre l’hypothèse. On voit ensuite que $\gamma$ est divisible par le plus grand diviseur commun des nombres $h$, $h'$ ; en effet, en nommant $r$ ce diviseur, il divise $2i$ et $2i'$ (II et III), mais sera premier avec $k$ ; en outre $i^{2}-i'^{2}$ est divisible par $r^{2}$, puisqu’on a $i^{2}-i'^{2}=h^{2}k-h'^{2}k'$, et l’on en déduit facilement que $i-i'$ est divisible par $r$. Or on a $\alpha i'-\alpha i=\beta h'^{2}+\gamma k$, donc $\gamma k$ et partant $\gamma$ est divisible par $r$. Enfin on a $(\alpha h^{2}+\gamma i)^{2}-D\gamma ^{2}=h^{2}h'^{2}$. Donc en posant $\alpha h^{2}+\gamma i=rp$, $\gamma =rq$, $p$ et $q$ seront des entiers dont le dernier ne peut être nul, et l’on a l’équation $p^{2}-Dq^{2}={\frac {h^{2}h'^{2}}{r^{2}}}$. Mais ${\frac {h^{2}h'^{2}}{r^{2}}}$ est le plus petit nombre divisible à-la-fois par $h^{2}$ et $h'^{2}$, parconséquent il divisera $a^{2}$ et par suite $4D$ ; donc ${\frac {4Dr^{2}}{h^{2}h'^{2}}}$ sera un entier négatif que nous représenterons par $-e$, il en résultera

$p^{2}-Dq^{2}=-{\frac {4D}{e}}\quad 4=\left({\frac {2rp}{hh'}}\right)^{2}+eq^{2}.$

Dans cette équation le terme $\left({\frac {2rp}{hh'}}\right)^{2}$ étant un quarré $<4$, ne peut être que $0$ ou $1$ ; dans le premier cas on a $eq^{2}=4$ et $D=-\left({\frac {hh'}{rq}}\right)^{2}$ ; donc ${\frac {4D}{A^{2}}}$ est un quarré affecté du signe $-$, et partant non $\equiv 1{\pmod {4}}$ ; ainsi $O$ ne sera ni un ordre improprement primitif, ni un ordre dérivé d’un ordre improprement primitif. Donc ${\frac {D}{A^{2}}}$ sera entier, d’où l’on déduit facilement que $e$ est divisible par $4\ ;$ donc $q=1$ et $D=-\left({\frac {hh'}{r^{2}}}\right)^{2}$, et partant ${\frac {A^{2}}{D}}$ un entier ; donc on a nécessairement $D=-A^{2}$ ou ${\frac {D}{A^{2}}}=-1$, première exception. Dans le second cas, on aura $eq^{2}=3$ ; donc $q=1$, $e=3$ et