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RECHERCHES

moitié impairs ; ainsi $V$ renferme ${\frac {1}{2}}a$ formes proprement primitives. Quand $a$ est un autre nombre premier $p$, ou une puissance de ce nombre premier, on doit distinguer trois cas : 1^o. si ${\frac {D}{a^{2}}}$ n’est ni divisible par $p$, ni résidu quadratique de $p$, ces nombres seront tous premiers avec $a$, et partant, toutes les formes de $V$ seront proprement primitives. 2^o. Si $p$ divise ${\frac {D}{a^{2}}}$ comme depuis $0$ jusqu’à $a-1$ il y a ${\frac {a}{p}}$ nombres divisibles par $p$ ($0$ compris), et partant ${\frac {p-1}{p}}a$ non-divisibles, ${\frac {p-1}{p}}a$ sera le nombre des formes proprement primitives que contient $V$. 3^o. Si ${\frac {D}{a^{2}}}$ est résidu quadratique de $p$, et non-divisible par $p$, comme entre $np$ et $(n+1)p$ il y a deux valeurs de l’expression ${\sqrt {\frac {D}{a^{2}}}}{\pmod {p}}$, entre $1$ et $a$ il y en aura ${\frac {2a}{p}}$ ; donc il y aura ${\frac {p-2}{p}}a$ nombres non-divisibles par $p$ dans la suite ${\frac {D}{a^{2}}}$, ${\frac {D}{a^{2}}}-1$, etc., et partant, le nombre des formes proprement primitives de $V$ est ${\frac {p-2}{p}}a$. Généralement, si l’on a $a=2^{\nu }p^{\pi }q^{\chi }r^{\rho }$, $p$, $q$, $r$, etc. étant des nombres premiers différens, le nombre de formes proprement primitives contenues dans $V$ sera $NPQR$.... où l’on doit faire $N=1$ quand $\nu =0$, et $N=2^{\nu -1}$ si $\nu >0$ ; $P=p^{\pi }$ si ${\frac {D}{a^{2}}}$ n’est pas résidu quadratique de $p$ et n’est pas divisible par $p$, $P=(p-1)p^{\pi -1}$ quand ${\frac {D}{a^{2}}}$ est divisible par $p$, ou $P=(p-2)p^{\pi -1}$ quand ${\frac {D}{a^{2}}}$ est résidu de $p$ mais non-divisible par $p$. $Q$, $R$, etc. se déterminent de la même manière en $q$, $r$, etc.

III. Si $a^{2}$ ne divise pas $D$ on aura ${\frac {4D}{a^{2}}}$ entier et $\equiv 1{\pmod {4}}$ ; les valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {a^{2}}}$ seront ${\frac {1}{2}}a$, ${\frac {3}{2}}a$, ${\frac {5}{2}}a$, $a^{2}-{\frac {1}{2}}a$, partant, le nombre des formes de $V$ sera $a$, et parmi les formes, il y en aura autant de proprement primitives qu’il y aura de nombres premiers à $a$ dans la suite ${\frac {D}{a^{2}}}-{\frac {1}{4}},$ ${\frac {D}{a^{2}}}-{\frac {9}{4}},$ ${\frac {D}{a^{2}}}-{\frac {25}{4}},\dots$