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ARITHMÉTIQUES.

de toutes les classes de l’ordre proprement primitif (positif) sera $\mathrm {r}$ fois plus grand que celui des classes de l’ordre $\mathrm {O} .$

Comme les classes $K$, $L$ peuvent être prises arbitrairement dans l’ordre $O$, on peut les choisir identiques, et même il sera avantageux de se servir de la classe qui contient la forme la plus simple de cet ordre, et en prenant celle-ci pour $K$ et $L$, la difficulté est réduite à assigner toutes les classes proprement primitives, qui, composées avec $K$, reproduisent $K$ elle-même. Nous y parviendrons au moyen du théorème suivant :

254. Théorème. Si $\mathrm {F=(A,B,C)}$ est la forme la plus simple de l’ordre $\mathrm {O}$ de déterminant $\mathrm {D} ,$ et $\mathrm {f=(a,b,c)}$ une forme proprement primitive de même déterminant ; le nombre $\mathrm {A^{2}}$ pourra être représenté par la forme $\mathrm {f} ,$ si $\mathrm {F}$ est la résultante d’elle-même et de $\mathrm {f} \,;$ et réciproquement, $\mathrm {F}$ sera composée d’elle-même et de $\mathrm {f} ,$ si $\mathrm {A^{2}}$ peut être représenté par $\mathrm {f} .$

1^o. Si $F$ se change en $fF$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$, on a (n^o 235) $A^{3}=A(aq''^{2}-2bqq''+cq^{2})$, d’où $A^{2}=aq''^{2}-2bqq''+cq^{2}$.

2^o. Si $A^{2}$ peut être représenté par la forme $f$, désignons les valeurs des indéterminées qui effectuent la représentation par $q''$ $-q$, ou soit $A^{2}=aq''^{2}-2bqq''+cq^{2}$ ; prenons $q''a-q(b+B)=Ap$, $-qC=Ap'$, $q''(b-B)-qc=Ap''$, $-q''C=Ap'''$, $q''a-q(b-B)=Aq'$, $q''(b+B)-qc=Aq'''$. Cela fait, on s’assure aisément que $F$ se change en $fF$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$, pourvu que les nombres $p$, $p'$ etc, soient entiers ; or, par la nature de la forme la plus simple, $B$ est $0$ ou ${\frac {1}{2}}A$ ; donc ${\frac {2B}{A}}$ est toujours un nombre entier ; il résulte encore du même principe, que ${\frac {C}{A}}$ est un nombre entier ; donc $q'-p$, $p'$, $q'''-p''$ $p'''$ sont des nombres entiers ; il reste donc seulement à prouver que $p$ et $p''$ sont des nombres entiers. Or on a

$p^{2}+{\frac {2B}{A}}pq=a-{\frac {q^{2}C}{A}},\quad p''^{2}+{\frac {2B}{A}}p''q''=c-{\frac {q''^{2}C}{A}}.$

Si donc $B=0$, il vient $p^{2}=a-{\frac {q^{2}C}{A}}$, $p''^{2}=c-{\frac {q''^{2}C}{A}}$, et partant $p$ et