se trouver autant de fois dans les nombres pris ensemble, que dans On déduit de là le caractère pour reconnaître
si le nombre divise ou non un autre nombre Il le divisera s’il
ne contient aucun facteur premier étranger à ni aucune puissance plus grande d’un des facteurs premiers de Si une de ces
conditions manque, ne divisera pas
À l’aide du calcul des combinaisons, on verra aisément que si étant comme ci-dessus des nombres premiers différens, le nombre des diviseurs différens de en y comprenant et , est
18. Si donc et si tous les facteurs diffèrent des facteurs , etc. ; et n’auront d’autre diviseur commun que ou bien seront premiers entr’eux.
Le plus grand commun diviseur entre plusieurs nombres donnés se trouve de la manière suivante : On décompose les nombres en facteurs premiers, et l’on prend ceux qui sont communs à tous les nombres (s’il n’y en avait pas de tels, les nombres donnés n’auraient pas de commun diviseur) ; alors on remarque quels sont les exposans de ces facteurs, dans chacun des nombres on donne à chaque facteur le plus petit des exposans qu’il a dans et l’on compose un produit des puissances qui en résultent ; ce sera le plus grand commun diviseur cherché.
Si l’on cherchait au contraire le plus petit nombre divisible à-la-fois, par les nombres on prendrait tous les nombres premiers qui diviseraient quelqu’un des nombres et on donnerait à chacun d’eux le plus haut exposant qu’il ait dans les nombres Le produit de toutes ces puissances serait le nombre cherché.
Soient, par exemple,
Pour trouver le plus grand diviseur commun, on a les facteurs premiers et qui doivent être affectés des exposans et d’où il vient Quant au plus petit nombre divisible par il sera
