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ARITHMÉTIQUES.

, que . On pourrait employer la même notation pour les formes, mais nous nous en abstiendrons pour éviter l’ambiguité, ayant déjà donné une signification particulière à l’expression . Nous dirons que la classe provient de la duplication de la classe , de la triplication, etc.

250. Si est divisible par (en supposant positif), il y aura un ordre de formes de déterminant , dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant (ou deux quand est négatif, un positif et l’autre négatif). La forme appartiendra évidemment à cet ordre (à l’ordre positif), et pourra avec raison être considérée comme la forme la plus simple de cet ordre (comme la forme dans l’ordre négatif quand est négatif). Si en outre il y aura aussi un ordre de formes de déterminant dérivé d’un ordre improprement primitif de déterminant , auquel appartiendra évidemment la forme , qui sera la plus simple. Quand est négatif, il y aura deux ordres, et dans le négatif la forme sera la plus simple. Ainsi, par exemple, si l’on veut appliquer cela au cas où , dans les quatre ordres de formes de déterminant , les suivantes seront les plus simples :

Cette observation donne naissance au problème suivant :

Problème. Étant proposée une forme quelconque de l’ordre , trouver une forme primitive (positive, s’il y a lieu à distinction) qui, composée avec la forme la plus simple de l’ordre ait pour résultante .

Soit dérivée de la forme proprement primitive de déterminant .

1o. Si est proprement primitive, nous observerons d’abord que quand ne serait pas premier avec , on pourra toujours

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