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ARITHMÉTIQUES.

ou $=2$, suivant que $f'$ est proprement ou improprement primitive : dans le premier cas, $F$ appartiendrait à un ordre proprement primitif ; dans le second, à un ordre improprement primitif. Maintenant le genre de la forme $F$ se déterminera par ses caractères particuliers, tant à l’égard des différens diviseurs premiers impairs de $D$, que, dans quelques cas, à l’égard des nombres $4$ ou $8$. Il faudra donc déterminer chacun d’eux.

1^o. Si $p$ est un diviseur premier quelconque de $D$, il divisera nécessairement $d$ et $d'$ ; ainsi la relation de la forme $F$ avec $p$, se trouvera parmi les caractères des formes $f$, $f'$. Or, si le nombre $a$ peut être représenté par la forme $f$, et le nombre $a'$ par $f'$, $aa'$ pourra l’être par $F$. Si donc des résidus quadratiques de $p$, non divisibles par $p$, peuvent être représentés, tant par $f$ que par $f'$, il pourra y en avoir de représentés par la forme $F$ ; c’est-à-dire, que si l’une et l’autre de ces deux formes a le caractère $Rp$, la forme $F$ aura le même caractère. Par une raison semblable, la forme $F$ aura le caractère $R.p$, si les deux formes $f$, $f'$ ont le caractère $N.p$ ; au contraire $F$ aura le caractère $N.p$, si l’une des formes $f$ et $f'$ a le caractère $R.p$, et l’autre le caractère $N.p$.

2^o. Si dans le caractère complet de la forme $F$, il entre une relation à l’égard du nombre $4$, cette relation doit entrer aussi dans les caractères des formes $f$, $f'$. En effet, cela ne peut arriver que lorsque $D\equiv 0{\pmod {4}}$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$ ; quand $D$ est divisible par $4$, $dm'^{2}$ et $d'$ le seront aussi ; donc $f'$ ne peut pas être improprement primitive (n^o 226), et partant on a $m'=1$ ; donc $d$ et $d'$ sont divisibles par $4$, et le caractère de chacune d’elles renfermera la relation à l’égard de $4$. Quand $D\equiv 3{\pmod {4}}$, $D$ divisera $d$ et $d'$, les quotiens seront des nombres quarrés, et parconséquent $d$ et $d'$ seront ou $\equiv 0$, ou $\equiv 3{\pmod {4}}$, et la relation à l’égard du nombre $4$ sera comprise dans les caractères des formes $f$, $f'$. Donc il suit de là, comme dans 1^o., que le caractère de la forme $F$ sera 1,4, si les deux formes $f$, $f'$ ont le caractère 1,4 ou le caractère 3,4, et qu’au contraire le caractère de la forme $F$ sera 3,4, si l’une des formes $f$, $f'$ a le caractère 1,4 et l’autre le caractère 3,4.

3^o. Quand $D$ est divisible par $8$, $d'$ l’est aussi ; donc $f'$ est pro-