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ARITHMÉTIQUES.

La première équation fait voir que $\varpi +\delta$, $\varpi '+\delta '$, $\varpi ''+\delta ''$, $\varpi '''+\delta '''$, sont des valeurs de $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$, et la seconde, que ces valeurs rendent $B=\beta +kA$.

Il suit de là que $B$ peut toujours être déterminé de manière à tomber entre $0$ et $A-1$, si $A$ est positif, ou entre $0$ et $-A-1$, si $A$ est négatif.

243. Des équations

$\pi 'a+\pi ''a'+\pi '''(b+b')=\mu \quad B={\frac {1}{\mu }}\left[\pi aa'+\pi 'ab+\pi ''a'b+\pi '''(bb'+D)\right],$

on tire

$B=b+{\frac {a}{\mu }}(\pi a'+\pi '(b'-b)-\pi ''c)=b'+{\frac {a'}{\mu }}(\pi a+\pi ''(b'-b)-\pi '''c')\,;$

donc $B\equiv b{\pmod {\frac {a}{\mu }}}$, et $B\equiv b'{\pmod {\frac {a'}{\mu }}}$. Toutes les fois que ${\frac {a}{\mu }}$ et ${\frac {a'}{\mu }}$ seront premiers entre eux, il n’y aura entre $0$ et $A-1$ (ou entre $0$ et $-A-1$, si$A<0$) qu’un seul nombre qui soit congru à $b$, suivant le module ${\frac {a}{\mu }}$, et à $b'$, suivant ${\frac {a'}{\mu }}$. Si on le fait $=B$, et ${\frac {B^{2}-D}{A}}=C$, la forme $(A,B,C)$ sera composée des formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire, pour la composition, de considérer les nombres $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$. Par exemple, si l’on cherche une forme composée des deux formes $(10,3,11)$, $(15,2,7)$, $a$, $a'$, $b+b'$ seront respectivement $=10$, $15$, $5$ et $\mu =5$ ; donc $A=6$, $B\equiv 3{\pmod {2}}$ et $\equiv 2{\pmod {3}}$, d’où $B=5$ ; et la forme $(6,5,21)$ sera celle qu’on cherchait. Au reste, la condition que ${\frac {a}{\mu }}$ et ${\frac {a'}{\mu }}$ soient premiers entre eux, revient à ce qu’ils n’aient pas d’autre diviseur commun que le plus grand commun diviseur des trois nombres $a$, $a'$, $b+b'$, ou encore que le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $a'$, divise $b+b'$.

On doit remarquer particulièrement les cas suivans :

1^o . Étant proposées deux formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ de même déterminant $D$, telles que le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $2b$, $c$ soit premier avec celui des nombres $a'$, $2b'$, $c'$, et que a