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ARITHMÉTIQUES.

240. Théorème. Si la forme $\mathrm {F}$ est composée des formes $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'}$ et $\varphi$ de $\mathrm {F}$ et $\mathrm {f''} ,$ que $\mathrm {F'}$ le soit de $\mathrm {f,\,f''}$ et $\varphi '$ de $\mathrm {F',\,f'} ,$ les formes $\varphi$, $\varphi '$ sont proprement équivalentes.

I. Soient

${\begin{array}{*{7}{c}}f&=&ax^{2}&+&2bxy&+&cy^{2},\\f'&=&a'x'^{2}&+&2b'x'y'&+&c'y'^{2},\\f''&=&a''x''^{2}&+&2b''x''y''&+&c''y''^{2},\\F&=&AX^{2}&+&2BXY&+&CY^{2},\\F'&=&A'X'^{2}&+&2B'X'Y'&+&C'Y'^{2},\\\varphi &=&Gt^{2}&+&2Htu&+&Lu^{2},\\\varphi '&=&G't'^{2}&+&2H't'u'&+&L'u'^{2},\\\end{array}}$

et leurs determinans $d$, $d'$, $d''$, $D$, $D'$, $\Delta$, $\Delta '$, qui ont tous les mêmes signes, et sont entre eux comme des quarrés. Soit $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, et que $m'$, $m''$, $M$ aient la même signification par rapport aux formes $f'$, $f''$, $F$ ; par la conclusion 4 du n^o 235, $D$ sera le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$ et $d'm^{2}$, et partant $Dm''^{2}$ celui des nombres$dm'^{2}m''^{2}$, $d'^{2}m^{2}m''^{2}$ ; $M=mm'$ ; $\Delta$ le plus grand commun diviseur des nombres $Dm''^{2}$, $d''M^{2}$, ou des nombres $Dm''^{2}$ et $d''m^{2}m'^{2}$ ; donc $\Delta$ est le plus grand commun diviseur des trois nombres $dm'^{2}m''^{2}$, $d'm^{2}m''^{2}$, $d''m^{2}m'^{2}$. Par la même raison $\Delta '$ est le plus grand commun diviseur des trois mêmes nombres ; donc puisque $\Delta$ et $\Delta '$ doivent avoir le même signe, on a $\Delta =\Delta '$, c’est-à-dire que les formes $\varphi$, $\varphi '$ ont le même déterminant.

II. Supposons maintenant que $F$ se change en $ff'$ par la substitution

$X$	$=$	$pxx'+p'xy'+p''yx'+p'''yy'$,
$Y$	$=$	$qxx'+q'xy'+q''x'y+q'''yy'$,

et $\varphi$ en $Ff''$ par la substitution

$t$	$=$	$\pi Xx''+\pi 'Xy''+\pi ''x''Y+\pi '''y''Y$,
$u$	$=$	$\chi Xx''+\chi 'Xy''+\chi ''x''Y+\chi '''y''Y$,

et désignons par $n$, $n'$, $N$, $\nu ''$ les racines positives de ${\frac {d}{D}}$, ${\frac {d'}{D}}$, ${\frac {D}{\Delta }}$, ${\frac {d'}{\Delta }}$. Alors, par le n^o 235, on aura dix-huit équations, dont la moitié appartiendra à la transformation de $F$ en $ff''$, et l’autre moitié à la transformation de $\varphi$ en $Ff''$ : la première sera $pq'-p'q=an'$, et on peut, à l’instar, former toutes les autres, que nous omettons ici. Au reste, les quantités $n$, $n'$, $N$, $\nu ''$ sont rationnelles, mais peuvent être fractionnaires.

K k