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ARITHMÉTIQUES.

$\left\{{\begin{array}{*{8}{l}}&\pi 'an'&+&\pi ''a'n&+&\pi '''(bn'+b'n)&=&p,\\-&\pi an'&+&\pi '''c'n&+&\pi ''(bn'-b'n)&=&p',\\&\pi '''cn'&-&\pi a'n&+&\pi '(bn'-b'n)&=&p'',\\-&\pi ''cn'&-&\pi 'c'n&-&\pi (bn'+b'n)&=&p'''\\\end{array}}\right\}...(II)\,;$

enfin en posant.

$q'q''-qq'''$	$=Ann'$,
$pq'''+p'''q-p'q''-p''q'$	$=2Bnn'$,
$p'p''-pp'''$	$=Cnn'$,

$A$, $B$, $C$ seront des nombres entiers, et la forme $(A,B,C)=F$ sera composée des formes $f$ et $f'$.

En effet 1^o . des équations (I) on déduit sans peine les suivantes :

$q'cn'-q'ca'n-q'''(bn'-b'n)$	$=0$,	$\}$
$qcn'+q'''a'n-q''(bn'-b'n)$	$=0$	$\}$……(III)
$q'''an'+qc'n-q'(bn'+b'n)$	$=0$	$\}$
$q''an'-q'a'n-q(bn'-b'n)$	$=0$	$\}$

2^o . Supposons que les nombres entiers $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$, $N$, $N'$ soient déterminés de manière qu’on ait

$A_{1}a+2B_{1}b+C_{1}c$	$=m$,
$A_{2}a'+2B_{2}b'+C_{2}c'$	$=m'$,
$Nm'n+Nmn'$	$=1$,

on en tire, par la substitution des valeurs de $m$, $m'$ dans la troisième équation

$A_{1}N'an'+2B_{1}N'bn'+C_{1}N'cn'+A_{2}Na'n+2B_{2}Nb'n+C_{2}Nc'n=1,$

de cette équation et des équations (III), en posant

$-$	$q'A_{1}N'-Q''A_{2}N-q'''(B_{1}N'+B_{2}N)$	$=k$,
	$qA_{1}N'-q'''C_{2}N+q''(B_{1}N'-B_{2}N)$	$=k'$,
$-$	$q'''C_{1}N'+qA_{2}N-q'(B_{1}N'-B_{2}N)$	$=k''$,
	$q''C_{1}N'+q'C_{2}N+q(B_{1}N'+B_{2}N)$	$=k'''$,

on trouvera facilement

	$k'an'+ki''a'n+k'''(bn'+b'n)$	$=q$,	$\}$	……
$-$	$kan'+k'''c'n-k''(bn'-b'n)$	$=q'$,	$\}$	……(IV)
	$k'''cn'-ka'n+k'(bn'-b'n)$	$=q''$,	$\}$	……
$-$	$k''cn'-k'c'n-k(bn'+b'n)$	$=q'''$,	$\}$	……

Lorsque $\mu =1,$ ces équations ne sont pas nécessaires, et l’on peut prendre à leur place les équations (I) elles-mêmes, dont elles sont les analogues. Or si l’on substitue dans les valeurs de $Ann',$ $2Bnn',$ $Cnn'$ celles de $q,$ $q',$ $q'',$ $q''',$ $p,$ $p',$ $p'',$ $p''',$ on trouvera, en réduisant, que les différens termes sont des entiers multipliés les uns par $nn',$ les autres par $dn'^{2}$ ou $d'n^{2}\,;$ et que tous les termes de la valeur de $2Bnn'$ contiennent le facteur $2$ ; or $dn'^{2}=d'n^{2}$ et ${\frac {dn'^{2}}{nn'}}={\frac {dn'}{n}}={\sqrt {dd'}}.$ Donc $A$, $B,$ $C$ sont des nombres entiers.

3^o . En substituant les valeurs de $p,$ $p',$ $p'',$ $p''',$ dans les six