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RECHERCHES

Maintenant, on déduira facilement des équations fondamentales les six suivantes :

$AP^{2}$	$=aa'q'^{2}$	$-$	$2ab'$	$qq'$	$+ac'q^{2}$,
$AQ^{2}$	$=aa'q''^{2}$	$-$	$2a'b$	$qq''$	$+a'cq^{2}$,
$AR^{2}$	$=aa'q'''^{2}$	$-$	$2(bb'+\Delta )$	$qq'''$	$+cc'q^{2}$,
$AS^{2}$	$=ac'q''^{2}$	$-$	$2(bb'+\Delta )$	$q'q''$	$+a'cq'^{2}$,
$AT^{2}$	$=ac'q'''^{2}$	$-$	$2bc'$	$q'q'''$	$+cc'q'^{2}$,
$AU^{2}$	$=a'cq'''^{2}$	$-$	$2b'c$	$q'''q''$	$+cc'q''^{2}$,

Il suit de là que $AP^{2}$, $AQ^{2}$, $AR^{2}$, etc. sont divisibles par $mm'$, d’où l’on conclut facilement que $Ak^{2}$ est divisible par $mm'$, puisque $k^{2}$ est le plus grand commun diviseur entre $P^{2}$, $Q^{2}$, $R^{2}$, etc. ; mais en substituant pour $a$, $2b$, $c$, etc. leurs valeurs ${\frac {P}{n'}}$, etc., ou $(pq'-p'q){\frac {1}{n'}}$, etc. Ces équations se changeront en six autres, dans lesquelles on aura à droite les produits de la quantité ${\frac {1}{nn'}}(q'q''-qq''')$ par $P^{2}$, $Q^{2}$, $R^{2}$, etc. ; nous laissons à effectuer ce calcul qui est très-facile. Il suit de là qu’on a $Ann'=q'q''-qq'''$.

De la même manière on obtient six autres équations dans lesquelles $A$ est remplacé par $C$, et $q$, $q'$, $q''$, $q'''$ par $p$, $p'$, $p''$, $p'''$, où parvient à l’équation $Cnn'=p'p''-pp'''$, et l’on prouve que $CK^{2}$ est divisible par $mm'$.

Enfin on déduit encore les six équations :

$BP^{2}$	$=-aa'p'q'$	$+$	$ab'$	$(pq'+p'q)$	$-ac'pq$,
$BQ^{2}$	$=-aa'p''q''$	$+$	$a'b$	$(pq''+p''q)$	$-a'cpq$,
$BR^{2}$	$=-aa'p'''q'''$	$+$	$(bb'+\Delta )$	$(pq'''+p'''q)$	$-cc'pq$,
$BS^{2}$	$=-ac'p''q''$	$+$	$(bb'-\Delta )$	$(p'q''+p''q')$	$-a'cp'q'$,
$BT^{2}$	$=-ac'p'''q'''$	$+$	$bc'$	$(p'q'''+p'''q)$	$-cc'p'q'$,
$BU^{2}$	$=-a'cp'''q'''$	$+$	$b'c$	$(p''q'''+p'''q'')$	$-cc'p''q''$,

d’où l’on conclut que $2Bk^{2}$ est divisible par $mm'$ ; on déduira aisément par les mêmes substitutions que ci-dessus, l’équation ${\displaystyle }$.

Puisque $Ak^{2}$, $2Bk^{2}$, $Ck^{2}$ sont divisibles par $mm'$, il s’ensuit que $Mk^{2}$ est divisible aussi par $mm'$ ; mais on voit par les équations fondamentales que $M$ divise les nombres $aa'$, $2ab'$, $ac'$, $2ba'$,