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ARITHMÉTIQUES.

Donc $e$ divisant les six nombres $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$, divisera aussi leur plus grand commun diviseur $k$. Donc $k$ est le plus grand diviseur commun entre $mn'$ et $m'n$ ; d’où l’on voit facilement que $Dk^{2}$ est le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$, $d'm^{2}$. C’est la quatrième conclusion. Il est donc clair que toutes les fois que $F$ sera composée de $f$ et $f'$, comme on a $k=1$, $D$ sera le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$, $d'm^{2}$ et réciproquement. Cette propriété aurait pu être prise comme définition de la forme composée. Ainsi la forme composée des formes $f$, $f'$, a le plus grand déterminant possible parmi toutes les formes qui peuvent être transformées en le produit $ff'$.

Avant que nous puissions aller plus loin, il faut déterminer avec plus d’exactitude la valeur de $\Delta$ que nous avons trouvé $={\sqrt {dd'}}={\sqrt {D^{2}n^{2}n'^{2}}}$, mais dont le signe n’est pas encore fixé. À cet effet, nous déduirons des équations fondamentales l’équation $DPQ=aa'\Delta$, en retranchant le produit de l’équation (1) par l’équation (2), de celui de l’équation (5) par l’équation (6) ; et partant, $Daa'nn'=aa'\Delta$, ou $Dnn'=\Delta$, à moins qu’un des nombres $a$, $a'$ ne fut nul. Mais on tire des équations (1).... .(2) absolument de la même manière, huit autres équations dans lesquelles $Dnn'$ à gauche, $\Delta$ à droite, sont multipliés par $2ab'$, $ac'$, $2ba'$, $4bb'$, $2bc'$, $ca'$, $2cb'$, $cc'$ ; et comme les nombres $a$, $2b$, $c$ ne peuvent être nuls en même temps, non plus que les nombres $a'$, $2b'$, $c'$, il s’ensuit qu’on aura dans tous les cas $\Delta =Dnn'$, et que parconséquent $\Delta$ aura le même signe que $D$, $d$, $d'$, ou un signe différent, suivant que $n$ et $n'$ auront le même signe, ou un signe différent.

Or les nombres $aa'$, $2ab'$, $ac'$, $2ba'$, $4bb'$, $2c'b$, $ca'$, $2cb'$, $cc'$, $2bb'+2\Delta ,$ $2bb'-2\Delta$ sont tous divisibles par $mm'$. La chose est évidente pour les neuf premiers ; quant aux deux autres, on les démontrera comme nous avons démontré plus haut que $R$ et $S$ étaient divisibles par $e$. En effet, $4bb'+4\Delta$ et $4bb'-4\Delta$ sont divisibles par $mm'$ puisque $4\Delta ={\sqrt {16dd'}}$, que $4d$ est divisible par $m^{2}$, $4d'$ par $m'^{2}$, partant, $16dd'$ par $m^{2}m'^{2}$ et $4\Delta ={\sqrt {16dd'}}$ par $mm'$ ; la somme et la différence des quotiens sont paires ; et comme l’on démontre facilement que le produit des quotiens est également pair, chacun de ces quotiens l’est aussi, et parconséquent $2bb'+2\Delta$ et $2bb'-2\Delta$ sont divisibles par $mm'$.

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