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RECHERCHES

Ap^{2}+2Bpq+Cq^{2}=aa'

(1)

Ap'^{2}+2Bp'q'+Cq'^{2}=ac'

(2)

Ap''^{2}+2Bp''q''+Cq''^{2}=a'c

(3)

Ap'''^{2}+2Bp'''q'''+Cqq'=ab'

(4)

App'+B(pq'+p'q)+Cqq'=ab'

(5)

App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=a'b

(6)

Ap'p'''+B(p'q'''+p'''q')+Cq'q'''=bc'

(7)

Ap''p'''+B(p''q'''+p'''q'')+Cq''q'''=cb'

(8)

A(pp'''+p'p'')+B(pq'''+p'''q+p'q''+p''q')+C(qq'''+q'q'')=2bb'

(9)

Soient $D$ , $d$ , $d'$ les déterminans des formes $F$ , $f$ , $f'$ respectivement ; $M$ , $m$ , $m'$ les plus grands communs diviseurs des nombres $A$ , $2B$ , $C$ ; $a,$ $2b,$ $c$ ; $a',$ $2b',$ $c'$ respectivement, $M$ , $m$ , $m'$ étant pris positivement. Déterminons les six nombres $A$ , $B$ , $C$ ; $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ ; $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ de manière qu’on ait

A_{1}a+B_{1}b+C_{1}c=m,\quad A_{2}a'+B_{2}b'+C_{2}c'=m'.

Faisons enfin $pq'-p'q=P$ , $pq''-p''q=Q$ , $pq'''-p'''q=R$ , $p'q''-p''q'=S$ , $p'q'''-p'''q'=T$ , $p''q'''-p'''q''=U$ , et supposons que $k$ soit leur plus grand commun diviseur^[1].

Posant maintenant

App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=bb'+\Delta

………(10),

↑ On peut présenter cette recherche de la manière suivante. On tire des dernières équations que vient de poser l’auteur, en supposant connues

P

,

Q

,

R

,

S

,

T

,

U

, et par l’élimination entre les valeurs de

Q

,

R

,

S

,

T

,

$Pq''$	$=Qq'-Sq$ ,
$Pp''$	$=Qp'-Sp$ ,
$Pq'''$	$=Rq'-Tq$ ,
$Pp'''$	$=Rp'-Tp$ ;

et comme on a l’équation $pq'-p'q=P$ , il vient en substituant dans la valeur de $U$ celles de $q''$ , $q'''$ , $p''$ , $p'''$ l’équation de condition,

QT-RS=PU.

Substituant enfin les valeurs de ces mêmes quantités dans les équations (3), (4), (6), (7), (8), (9), on obtient six équations que je désignerai par (α), (β), (γ), (δ), (ε), (ξ)

De (α) et (γ) on tire en éliminant $S$ , et faisant ${\sqrt {\frac {d}{d'}}}=\mu$ ,

Q={\frac {a'P}{a}},\quad T={\frac {c'P}{a}}.

Les équations (β), (δ) donnent $S={\frac {P}{a}}(\mu b'-b)$ , $R={\frac {P}{a}}(\mu b'-b)$ , et l’on

[p244-1] On peut présenter cette recherche de la manière suivante. On tire des dernières équations que vient de poser l’auteur, en supposant connues $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ , $U$ , et par l’élimination entre les valeurs de $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ ,

$Pq''$ $=Qq'-Sq$ ,

$Pp''$ $=Qp'-Sp$ ,

$Pq'''$ $=Rq'-Tq$ ,

$Pp'''$ $=Rp'-Tp$ ;

et comme on a l’équation $pq'-p'q=P$ , il vient en substituant dans la valeur de $U$ celles de $q''$ , $q'''$ , $p''$ , $p'''$ l’équation de condition,

$QT-RS=PU.$

Substituant enfin les valeurs de ces mêmes quantités dans les équations (3), (4), (6), (7), (8), (9), on obtient six équations que je désignerai par (α), (β), (γ), (δ), (ε), (ξ)
De (α) et (γ) on tire en éliminant $S$ , et faisant ${\sqrt {\frac {d}{d'}}}=\mu$ ,

$Q={\frac {a'P}{a}},\quad T={\frac {c'P}{a}}.$

Les équations (β), (δ) donnent $S={\frac {P}{a}}(\mu b'-b)$ , $R={\frac {P}{a}}(\mu b'-b)$ , et l’on

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