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ARITHMÉTIQUES.

ticulier de la forme $(a,b,c)$ , à l’égard du nombre $p$ , est $R.p$ ou $N.p$ respectivement, $M(a,b,c)$ sera résidu de $m$ . En effet, quand $a$ n’est pas divisible par $p$ , $aM$ sera résidu de $p$ , et partant de $m$ lui-même ; si donc $g$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {aM}}{\pmod {m}}$ et que $h$ soit une valeur de ${\frac {bg}{a}}{\pmod {m}}$ , on aura $g^{2}\equiv aM$ , $ah\equiv bg$ , et partant $agh\equiv bg^{2}\equiv abM$ et $gh\equiv bM$ ; enfin $ah^{2}\equiv bgh\equiv b^{2}M\equiv b^{2}M-(b^{2}-ac)M\equiv acM$ , d’où $h^{2}\equiv cM$ ; donc $(g,h)$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {(a,b,c)M}}$ . Mais quand $a$ est divisible par $p$ , comme alors $c$ ne l’est sûrement pas, on voit qu’on arrivera au même résultat, en prenant $h={\sqrt {cM}}{\pmod {m}}$ et $g={\frac {bh}{c}}{\pmod {m}}$ .

On démontre de la même manière, que si $m=4$ qu’il divise $b^{2}-ac$ , et qu’on prenne le nombre $M\equiv 1$ ou $\equiv 3$ , suivant que le caractère particulier de la forme est $1,4$ ou $3,4$ , $M(a,b,c)$ sera résidu de $m$ , et que $m=8$ ou une plus haute puissance de $2$ , par laquelle $b^{2}-ac$ soit divisible, et que l’on prenne $M\equiv 1$ ; $3$ ; $5$ ; $7{\pmod {8}}$ , suivant que le caractère particulier de la forme le demande, $M(a,b,c)$ sera résidu de $m$ .

4^o . Si le déterminant de la forme $(a,b,c)$ est $=D$ , et que $M(a,b,c)$ soit résidu de $D$ , tous les caractères particuliers de la forme, tant à l’égard des diviseurs premiers de $D$ , qu’à l’égard des nombres $4$ et $8$ , s’ils sont diviseurs de $D$ , peuvent se connaître sur-le-champ par le nombre $M$ . Ainsi, par exemple, comme $3(20,10,27)$ est résidu de $440$ , c’est-à-dire que $(150,-9)$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {3(20,10,27)}}$ , et qu’on a $3N.5$ et $3R.11$ ; les caractères de la forme $(20,10,27)$ sont $3,8$ ; $N.5$ ; $R.11$ . Les caractères, relatifs à $4$ et à $8$ , toutes les fois que ces nombres ne divisent pas $D$ , sont les seuls qui ne dépendent pas nécessairement du nombre $M$ .

5^o . Réciproquement, si le nombre $M$ premier avec $D$ renferme tous les caractères particuliers de la forme $(a,b,c)$ excepté ceux relatifs à $2$ et à $8$ , quand ces nombres ne divisent pas $D$ , $M(a,b,c)$ sera résidu de $D$ . En effet, par ce qui a été dit (3^o.), il est clair qu’en mettant $D$ sous la forme $\pm A^{\alpha }.B^{\beta }.C^{\gamma }$ … $A$ , $B$ , $C$ , etc.