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ARITHMÉTIQUES.

ou de cette classe. Ainsi, par exemple, le caractère de la forme $(10,3,17)$ , ou celui de toute la classe qu’elle représente, est $1,4$ ; $N.7$ ; $N.23$ . De la même manière, le caractère complet de la forme $(7,1,-17)$ sera $7,8$ ; $R.3$ ; $N.5$ : car le caractère particulier de la forme $3,4$ est compris dans le caractère $7,8$ . De là nous tirons une subdivision de tout l’ordre des classes proprement primitives (positives, quand le déterminant est négatif) d’un déterminant donné en plusieurs genres, en rapportant au même genre toutes les classes qui ont le même caractère complet, et à des genres différens toutes celles qui ont différens caractères complets. Nous attribuerons à ces genres les caractères complets des classes qui y sont contenues.

Par exemple, pour le déterminant $-161$ , il y a seize classes positives proprement primitives, qui peuvent se distribuer en quatre genres, de la manière suivante :

Caractère. ——————Formes représentantes des classes.

$1,4\,;\,R.7\,;\,R.23...$	$(1,0,161),$	$(2,1,81),$	$(9,1,18),$	$(9,-1,18)$
$1,4\,;\,N.7\,;\,N.23...$	$(5,2,33),$	$(5,-2,33),$	$(10,3,17),$	$(10,-3,17)$
$3,4\,;\,R.7\,;\,N.23...$	$(7,0,23),$	$(11,2,15),$	$(11,-2,15),$	$(14,7,15)$
$3,4\,;\,N.7\,;\,R.23...$	$(3,1,54),$	$(3,-1,54),$	$(6,1,27),$	$(6,-1,27).$

On peut faire les remarques suivantes sur le nombre des caractères complets différens.

I. Quand le déterminant $D$ est divisible par $8$ , à l’égard du nombre $8$ il peut y avoir quatre caractères particuliers différens ; le nombre $4$ ne donne aucun caractère particulier (n^o précéd.). En outre, à l’égard de chacun des diviseurs impairs et premiers de $D$ , il peut y avoir deux caractères, ainsi, si leur nombre est $m$ , il y a $2^{m+2}$ caractères complets différens, en faisant $m=0$ toutes les fois que $D$ est une puissance de $2$ .

II. Quand $D$ n’est pas divisible par $8$ , mais par $4$ et en outre par $m$ nombres premiers impairs, il y aura $2^{m+1}$ caractères complets différens.

III. Quand $D$ est pair, mais non divisible par $4$ , il sera $\equiv 2$ ou $\equiv 6{\pmod {8}}$ ; dans le premier cas, on aura à l’égard du nombre $8$ , savoir, $1$ et $7,8$ ; $5$ et $5,8$ , et autant dans le second.

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