à une valeur quelconque, à moins qu’on n’ait , cas que nous considérerons tout-à-l’heure à part ; il ne reste donc qu’à faire voir quelles doivent être les valeurs de , pour qu’il en résulte des valeurs entières de et de .
Comme , on ne peut prendre pour que des nombres entiers ; en outre, il est évident que si une valeur de rend et entiers, la même chose aura lieu pour toutes les valeurs de congrues à celle-là, suivant le module . Si donc on substitue pour tous les nombres entiers depuis jusqu’à , suivant que sera positif ou négatif, et qu’aucune de ces substitutions ne rende et entiers, l’équation proposée ne sera pas résoluble en nombres entiers ; mais si quelques-unes de ces valeurs ont cette propriété, supposons que ce soient les valeurs , etc., on aura toutes les solutions, en prenant , etc., étant un entier quelconque. Les valeurs de , etc. peuvent aussi se trouver par la solution des congruences du second degré. (Voyez Section IV. )
220. Pour le cas où , il faut chercher une méthode particulière. Par le no 215, et sont premiers entre eux ; ainsi sera un nombre entier que nous nommerons . Alors l’équation proposée prend la forme
et partant ne peut avoir de solutions rationnelles, à moins que
ne soit un quarré. Soit donc , on tire de
l’équation précédente
Cette équation exige, pour être résoluble en nombres entiers,
que soit divisible par car d’ailleurs , étant premiers entre eux, on trouvera toutes les solutions par les règles
connues.
221. Éclaircissons par un exemple le cas du no 217, qui est le plus difficile. Soit l’équation
En introduisant de nouvelles indéterminées ,
