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RECHERCHES

x={\frac {At+Bu+mcd-mbe}{m(b^{2}-ac)}},\quad y={\frac {Ct+Du+mae-mbd}{m(b^{2}-ae)}},

Or nous avons fait voir plus haut que toutes les valeurs positives de $t$ forment une suite récurrente $t$ , $t'$ , $t''$ , etc., et que les valeurs correspondantes de $u$ en forment une autre $u$ , $u'$ , $u''$ , etc. ; qu’en outre on pouvait toujours trouver un nombre $\mu$ tel qu’on eût, suivant un module donné quelconque,

$t^{\mu }$	$\equiv t^{0}$ ,——	$t^{\mu +1}$	$\equiv t'$ ——	$t^{\mu +2}$	$\equiv t''$ ,	etc.,
$u^{\mu }$	$\equiv u^{0}$ ,	$u^{\mu +1}$	$\equiv u'$	$u^{\mu +2}$	$\equiv u''$ ,	etc.,

Prenons pour ce module le nombre $m(b^{2}-ac)$ , et désignons par $x^{0}$ , $y^{0}$ les valeurs qui résultent pour $x$ , $y$ de la substitution de $t^{0}$ , $u^{0}$ ; par $x'$ , $y'$ celles qui résultent de $t'$ , $u'$ , etc. On voit alors sans peine que si $x^{(k)}$ , $y^{(k)}$ sont des nombres entiers, et que $\mu$ soit convenablement déterminé, les valeurs $x^{h+\mu }$ , $y^{h+\mu }$ ; $x^{h+2\mu }$ , $x^{h+2\mu }$ etc. ; $x^{h+k\mu }$ , $y^{h+k\mu }$ seront des nombres entiers, et qu’au contraire si $x^{h}$ ou $y^{h}$ est fractionnaire $x^{h+k\mu }$ , ou $y^{h+k\mu }$ le sera aussi. Il suit de là que si l’on cherche les valeurs de $x$ , $y$ depuis $x^{0}$ , $y^{0}$ jusqu’à $x^{\mu -1}$ , $y^{\mu -1}$ , et qu’aucunes d’elles ne soient entières, la formule (1) ne donnera absolument aucunes valeurs entières pour $x$ , $y$ . Mais si l’on en trouve quelques-unes, par exemple, $x^{\nu }$ , $y^{\nu }$ ; $x^{\nu '}$ , $y^{\nu '}$ , etc,, toutes les valeurs entières données par la formule (1) seront celles de $x$ , $y$ , dont les accens seront $\nu +k\mu$ , $\nu '+k\mu$ , etc., $k$ désignant tous les nombres entiers positifs, y compris zéro.

Les autres formules dans lesquelles sont contenues les valeurs de $p$ , $q$ doivent être traitées absolument de la même manière, et s’il arrivait que d’aucune d’elles on n’obtînt des valeurs entières pour $x$ , $y$ , l’équation proposée, ne serait pas résoluble en nombres entiers ; mais toutes, les fois qu’elle le sera, les solutions entières pourront s’obtenir par ce que nous venons d’exposer.

218. Quand $b^{2}-ac$ est un quarré et qu’on a $M=0$ , toutes les valeurs de $p$ , $q$ sont comprises sous deux formules de cette forme

p=Az,\quad q=Bz\,;\quad p=A'z,\quad q=B'z

où $z$ est un nombre entier quelconque, $A$ , $B$ , $A'$ , $B'$ , des nombres