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ARITHMÉTIQUES.

$k=m'(\alpha '\beta ''-\beta '\alpha '')+k'(\alpha '\delta ''-\beta '\gamma '')=m\alpha '\beta ''-\beta '\alpha '')+k'$ ;
donc $k\equiv k'{\pmod {m}}$ ; ce qui ne peut avoir lieu à moins que l’on n’ait $k=k'$ puisque $k$ et $k'$ sont compris entre $0$ et $m-1$. Donc les formes $\varphi$ et $\varphi '$ sont les mêmes contre l’hypothèse.

Au reste, il est clair que si le déterminant $D$ est négatif, ou positif et quarré, on trouvera effectivement par cette méthode, toutes les transformations propres de $f$ en $F$ ; mais que s’il est positif et non quarré, on trouvera certaines formules générales qui contiendront toutes les transformations propres, dont le nombre est infini.

Enfin si la forme $F$ est contenue improprement dans la forme $f$, on peut trouver par la même méthode toutes les transformations de $f$ en $F$. Soit en effet $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ une transformation indéterminée de $f$ en la forme opposée à $F$, toutes les transformations impropres de $f$ en $F$ seront représentées par $\alpha$, $-\beta$, $\gamma$, $-\delta$.

Exemple. On demande toutes les transformations de la forme $(2,5,7)$ en $(275,0,-1)$, qui y est contenue des deux manières. Nous avons donné au n^o précédent la suite $\Omega$ de formes pour la proposée. Examen fait, on trouve que dans cette suite les formes $(5;1)$ et $(5;4)$ sont proprement équivalentes à la forme $(5;-1)=(50,35,19)$ en $(275,0,-1)$. Toutes les transformations de la forme $(5;1)=(50,55,19)$ en $(275,0,1)$ se trouvent, par la théorie que nous avons expliquée plus haut, être contenues dans la formule générale,

$16t-275u,\quad -t+16u,\quad -15t+275u,\quad t-15u.$

où $t$, $u$ désignent les nombres entiers qui satisfont à l’équation indéterminée $t^{2}-275u^{2}=1$ ; ainsi toutes les transformations propres de la forme $(2,5,7)$ en $(275,0,-1)$ qui en résultent, seront comprises dans la formule générale

$65t-1100u,\quad -4t+65u,\quad -15t+275u,\quad t-15u.$

De même, toutes les transformations propres de la forme $(5;4)=(50,65,79)$ en $(275,0,-1)$ sont contenues dans la formule

$14t+275u,\quad t+14u,\quad -15t-275u,\quad -t-15u,$

ce qui donne encore la suivante pour les transformations propres de $(2,5,7)$ en $(275,0,-1)$,

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