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RECHERCHES

$\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, une transformation propre quelconque de $\varphi$ en $F$, la forme $f$ se changera évidemment en $F$ par la substitution propre $M\alpha '+K\gamma '$, $M\beta '+K\delta '$, $N\gamma '$, $N\delta '$ ; et de même, toute transformation de $\varphi$ en $F$ en donnera une de $f$ en $F$, et ainsi des autres : pour prouver que cette solution est complète, il reste à démontrer,

1^o. Que de cette manière on obtient toutes les transformations possibles de $\mathrm {f}$ en $\mathrm {F} .$ Soit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ une transformation propre quelconque de $f$ en $F$ et comme au n^o précédent, $n$ le plus grand commun diviseur des nombres $\gamma$, $\delta$, et les nombres $m$, $g$, $h$, $k$ déterminés de la même manière qu’à ce numéro. Alors la forme $(m;k)$ se trouve parmi les formes $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$ etc.

${\frac {\gamma }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}+h,\quad {\frac {\delta }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}-g,\quad {\frac {\gamma }{n}},\quad {\frac {\delta }{n}}.$

sera une transformation de cette forme en $F$, et de cette transformation on tire par la règle que nous venons de donner, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ pour celle de $f$ en $F$ Tout ceci a été démontré au n^o précédent.

2^o . Toutes les transformations que l’on obtient de cette manière sont différentes. On voit sans peine que des transformations différentes d’une même forme $\varphi$, $\varphi '$, etc. en $F$, ne peuvent produire la même transformation de $f$ en $F$. Il reste donc seulement à prouver que deux formes différentes $\varphi$ et $\varphi '$, par exemple, ne peuvent donner la même transformation.

Supposons que la transformation propre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ de la forme $f$ en $F$, s’obtienne de la transformation $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ de $\varphi$ en $F$, et de la transformation $\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma ''$, $\delta ''$ de $\varphi '$ en $F$. Soit $\varphi =(m;k)$, $\varphi '=(m';k')$, $e=mn=m'n'$. On aura les équations

$\alpha$	$=$	$m\alpha '+k\gamma '$	$=$	$m'\alpha ''+k'\gamma ''$	……(1),
$\beta$	$=$	$m\beta '+k\delta '$	$=$	$m'\beta ''+k'\delta ''$	……(2),
$\gamma$	$=$	$n\gamma '$	$=$	$n'\gamma ''$	……(3),
$\delta$	$=$	$n\delta '$	$=$	$n'\delta ''$	……(4),
$\alpha '\delta '-\beta '\gamma '$	$=$	$\alpha ''\delta ''-\beta ''\gamma ''$	$=$	$1$	……(5).

Multipliant les équations (4) et (3) par $\alpha '$ et $\beta '$ respectivement, on trouvera par la soustraction, $n=n'(\alpha '\delta ''-\beta '\gamma '')$ ; en les multipliant au contraire par $\alpha ''$ et $\beta ''$ respectivement, on trouvera de même $n'=n'(\alpha ''\delta ''-\beta ''\gamma ')$ ; donc $n$ est divisible par $n'$ et $n'$ par $n$, ce qui exige qu’on ait $n=n'$, puisque $n$ et $n'$ sont supposés tous les deux positifs. Donc aussi $m=m'$, $\gamma '=\gamma ''$, $\delta '=\delta ''$. Or en éliminant $m$ entre les équations (1) et (2), on trouve