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RECHERCHES

210. Théorème. Si deux formes réduites $\mathrm {(a,h,0)} ,$ $\mathrm {(a',h,0)}$ sont improprement équivalentes, on aura $\mathrm {aa'\equiv m^{2}{\pmod {2mh}}} ,$ $\mathrm {m}$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2h}$ ou $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {2h} \,;$ et réciproquement si $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2h} \,;$ $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {2h}$ ont le même plus grand diviseur commun $\mathrm {m} ,$ et qu’on ait $\mathrm {aa'\equiv m^{2}{\pmod {2hm}}} ,$ les formes $\mathrm {(a,h,0)} ,$ $\mathrm {(a',h,0)}$ seront improprement équivalentes.

I. Si la forme $(a,h,0)$ se change en $(a',h,0)$ par la transformation impropre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on aura les équations

$a\alpha ^{2}+2h\alpha \gamma$	$=a'$	……(1),	—	$a\alpha \beta ^{2}+h(\alpha \delta +\beta \gamma )$	$=h$	……(2),
$a\beta ^{2}+2h\beta \delta$	$=0$	……(3),	—	$a\delta -\beta \gamma$	$=-1$	……(4).

On déduit de l’équation (1)

	$(a\alpha +2h\gamma )^{2}-(a\alpha +2h\gamma )2h\gamma$	$=aa'$
ou	$(a\alpha +2h\gamma )^{2}$	$\equiv aa'{\pmod {2h\gamma (a\alpha +2h\gamma )}}$

Or en combinant les équations (2) et (4), on tire $(a\alpha \beta +2h\delta )\alpha =0$, et comme la supposition $\alpha =0$ réduirait l’équation (1) à $a'=0,$ contre l’hypothèse, on doit avoir $\alpha \beta +2h\delta =0,$ ou ${\frac {\beta }{\delta }}=-{\frac {2h}{a}},$ et partant $\beta =\pm {\frac {2h}{m}},$ $\delta =\mp {\frac {a}{m}}\,;$ l’équation (4) donne alors ${\frac {\mp a\alpha \mp 2h\gamma }{m}}=-1,$ ou $a\alpha +2h\gamma =\pm m.$ Ainsi la congruence que nous avions trouvée devient $m^{2}\equiv aa'{\pmod {2mh}}.$

II. Si $m$ est le plus grand diviseur commun des nombres $a,$ $2h\,;$ $a',$ $2h,$ et qu’on ait $aa'\equiv m^{2}{\pmod {2mh}},$ ${\frac {a}{m}},$ ${\frac {2h}{m}},$ ${\frac {a'}{m}},$ ${\frac {aa'-m^{2}}{2mh}}$ seront entiers, et l’on s’assure aisément que la forme $(a,h,0)$ se change en $(a',h,0)$ par la substitution $-{\frac {a'}{m}},$ $-{\frac {2h}{m}},$ ${\frac {aa'-m^{2}}{2mh}},$ ${\frac {a}{m}},$ et que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront improprement équivalentes.

On peut aussi juger sur-le-champ si une forme réduite $(a,h,0)$ est improprement équivalente à elle-même, puisqu’on aura alors $a^{2}\equiv m^{2}{\pmod {2mh}}.$

211. On trouve toutes les formes réduites de déterminant $h^{2}$ en prenant pour $A$ dans la forme $(A,h,0)$ tous les nombres entiers depuis et y compris $0,$ jusqu’à $2h-1$ inclusivement ; ainsi le nombre en sera $2h.$ Il est évident que l’on peut distribuer toutes les formes de déterminant $h^{2}$ en autant de classes, et qu’elles jouiront de la même propriété que ci-dessus (n^os 175, 185), pour les formes de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré.