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RECHERCHES

On cherchera deux formes réduites équivalentes aux formes $F$ et $F'$ respectivement, et suivant que ces réduites seront ou non identiques, les formes proposées seront ou non équivalentes.

II. Déterminer si deux formes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F'}$ sont improprement équivalentes.

Soit $G$ la forme opposée à l’une des deux formes, à $F$, par exemple ; si $G$ est proprement équivalente à $F'$, $F$ et $F'$ seront improprement équivalentes.

208. Problème. Étant données deux formes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ de même déterminant $\mathrm {h^{2}}$ proprement équivalentes, trouver une transformation propre de l’une en l’autre.

Soit $\varphi$ la réduite équivalente à $F$ et à $F'\,;$ on cherchera par le n^o 106 une transformation propre $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ de $F$ en $\varphi ,$ et une transformation propre $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta '$ de $F'$ en $\varphi .$ Alors $\varphi$ se changera en $F'$ par la substitution propre $\delta '$, $-\beta '$, $-\gamma '$, $\alpha '$, et partant $F$ en $F'$ par la substitution propre $\alpha \delta '-\beta \gamma '$, $\beta \alpha '-\alpha \beta '$, $\gamma \delta '-\delta \gamma '$, $\delta \alpha '-\gamma \beta '$.

Il peut être utile de donner pour cette transformation de $F$ en $F'$ une autre formule, pour laquelle il n’est pas nécessaire de connaître la réduite $\varphi$ elle-même. Soit $F=(a,b,c)$, $F'=(a',b',c')$, $\varphi =(A,h,0)$ ; puisque ${\frac {\beta }{\delta }}$ est la plus simple expression de la fraction ${\frac {h-b}{a}}$ ou de la fraction ${\frac {c}{-(h+b)}}$, on aura ${\frac {h-b}{\beta }}={\frac {a}{\delta }}$ égal à un entier que nous supposerons $=f$, et de même ${\frac {c}{\beta }}={\frac {-h-b}{\delta }}=g$. Or on a

$A=a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +C\gamma ^{2},\quad$ d’où $\quad \beta A=a\alpha ^{2}\beta +2b\alpha \beta \gamma +C\gamma ^{2}\beta ,$

ou en substituant pour $\alpha \beta ,$ $\delta (h-b),$ pour $c,$ $\beta g,$

$\beta A=\alpha ^{2}\delta h+b(2\beta \gamma -\alpha \delta )\alpha +\beta ^{2}\gamma ^{2}g\,;$

et comme $b=-h-\delta g,$

$\beta A=2\alpha (\alpha \delta -\beta \gamma )h+(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}g=2\alpha h+g\,;$

de même