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ARITHMÉTIQUES.

(1)……	${\frac {1}{m}}\left(\alpha t-(\alpha b+\gamma c)u\right),$	${\frac {1}{m}}\left(\beta t-(\beta b+\delta c)u\right),$
	${\frac {1}{m}}\left(\gamma t-(\alpha a+\gamma b)u\right),$	${\frac {1}{m}}\left(\delta t-(\beta a+\delta b)u\right)$ ;
(2)……	${\frac {1}{m}}\left(\alpha 't-(\alpha 'b+\gamma 'c)u\right),$	${\frac {1}{m}}\left(\beta 't-(\beta 'b+\delta 'c)u\right),$
	${\frac {1}{m}}\left(\gamma 't-(\alpha 'a+\gamma 'b)u\right),$	${\frac {1}{m}}\left(\delta 't-(\beta 'a+\delta 'b)u\right).$

Exemple. Ou demande toutes les transformations de la forme $(129,92,60)$ en la forme $(42,59,81)$. Nous avons trouvé (n^o 195) qu’elles étaient improprement équivalentes, et dans le n^o  suivant nous avons eu cette transformation impropre : $-47$, $-56$, $73$, $87$ ; ainsi toutes les transformations semblables seront contenues dans les formules

$-(47t+421u),\quad -(56t+503u),\quad 73t+653u,\quad 87t+780u,$

$t$, $u$ étant les nombres indéterminés qui satisfont à l’équation $t^{2}-79u^{2}$ ; ils sont donnés par les formules

$\pm t=$	${\frac {1}{2}}$	$\{\left(80+9{\sqrt {79}}\right)^{e}$	$-\left(80-9{\sqrt {79}}\right)^{e}\}$
$\pm u=$	${\frac {1}{2{\sqrt {79}}}}$	$\{\left(80+9{\sqrt {79}}\right)^{e}$	$-\left(80-9{\sqrt {79}}\right)^{e}\}$

où l’on doit prendre pour $e$ tous les nombres entiers positifs.

204. Il est évident que la formule générale qui donne toutes les transformations, devient d’autant plus simple, que la transformation initiale d’où elle est tirée l’est elle-même davantage, et comme il est indifférent de quelle transformation on parte, on peut souvent rendre la formule générale plus simple, si de la première qu’on trouve, on déduit une transformation plus simple en attribuant à $t$, $u$ des valeurs déterminées, et si l’on forme avec une autre formule. En faisant, par exemple, dans la formule de l’exemple précédent, $t=80$, $u=-9$, il en résulte une transformation plus simple que celle d’où nous étions partis, savoir, $29$, $47$, $-37$, $-60$ ; d’où l’on déduit la transformation générale

$29t-263u,\quad 47t-424u,\quad -37t+337u,\quad -60t+543u,$

Ainsi, lorsqu’on a trouvé la formule générale au moyen de ce qui précède, on pourra essayer si en attribuant à $t$, $u$ les valeurs