Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/218

Cette page a été validée par deux contributeurs.

196

RECHERCHES

que nous obtenons, si, dans le n^o 198, nous nous servons d’une forme réduite dans laquelle $a=1$ ; mais personne, avant Lagrange, n’avait démontré rigoureusement^[1] que l’opération qu’elles prescrivent devait nécessairement finir, c’est-à-dire, que le problème était toujours résoluble (Mélanges de la Société de Turin, T. IV, p. 19, et d’une manière plus élégante, Hist, de l’Acad. de Berlin, 1767, p. 237), Cette recherche se trouve encore dans les Supplémens à l’Algèbre d’Euler. Au reste, notre méthode, tirée de principes absolument différens, ne se borne pas au cas de $m=1$ , et donne le plus souvent différens moyens de parvenir à la solution, puisque dans le n^o 198, nous pouvons partir d’une forme réduite quelconque $(a,b,-a')$ .

203. Problème. Si les formes $\Phi$ et $\varphi$ sont équivalentes, trouver toutes les transformations de l’une en l’autre.

Quand ces formes ne seront équivalentes que d’une seule manière, c’est-à-dire, ou proprement ou improprement, on cherchera, par le n^o 196, une transformation $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ de la forme $\varphi$ en $\Phi$ , et il est clair qu’il n’y aura pas d’autres transformations qui ne soient semblables à celle-là. Mais quand $\varphi$ et $\Phi$ seront équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations dissemblables, c’est-à-dire, une propre et une impropre, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ ; $\alpha '$ , $\beta '$ , $\gamma '$ , $\delta '$ , et toute autre transformation sera semblable à l’une d’elles. Si donc $\varphi =(a,b,c)$ et que son déterminant soit $D$ , que $m$ soit, à l’ordinaire, le plus grand commun diviseur des nombres $a$ , $2b$ , $c$ et $t$ , $u$ les valeurs indéterminées qui satisfont à l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ ; dans le premier cas, toutes les transformations de $\varphi$ en $\Phi$ seront contenues dans la première (1) des formules suivantes, et dans le second cas, dans la première (1) et dans la seconde (2) :

↑ Ce que Wallis a avancé à ce sujet (Alg. pp. 427, 428), n’est d’aucun poids. Le paralogisme consiste en ce qu’il suppose qu’étant donnée une quantité $p$ on peut trouver des nombres entiers $a$ et $z$ tels que ${\frac {z}{a}}$ soit $<p$ , et que la différence soit plus petite qu’un nombre assigné, ce qui est vrai quand la différence assignée a une valeur déterminée, mais non lorsque, comme dans le cas présent elle est fonction de $a$ et de $z$ , et partant variable.

[1] Ce que Wallis a avancé à ce sujet (Alg. pp. 427, 428), n’est d’aucun poids. Le paralogisme consiste en ce qu’il suppose qu’étant donnée une quantité $p$ on peut trouver des nombres entiers $a$ et $z$ tels que ${\frac {z}{a}}$ soit $<p$ , et que la différence soit plus petite qu’un nombre assigné, ce qui est vrai quand la différence assignée a une valeur déterminée, mais non lorsque, comme dans le cas présent elle est fonction de $a$ et de $z$ , et partant variable.

[1]