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RECHERCHES

201. Relativement au problème résolu dans les numéros précédens, nous ajouterons encore quelques observations.

I. Comme nous avons appris à résoudre l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, où $m$ est le plus grand diviseur commun des nombres $M$, $2N$, $P$, tels qu’on ait $N^{2}-MP=D$, il est utile d’assigner les nombres qui peuvent être de tels diviseurs, c’est-à-dire, toutes les valeurs de $m$ pour une valeur donnée de $D$.

On fera $D=n^{2}D'$, desorte que $D'$ soit délivré de tout facteur quadratique, ce qu’on obtiendra en prenant pour $n^{2}$ le plus grand quarré qui puisse diviser $D$. Si $D$ ne renfermait aucun facteur quadratique, il faudrait prendre $n=1$.

1^o. Si $D'$ est de la forme $4k+1$, tout diviseur de $2n$ sera une valeur de $m$ et réciproquement. En effet, si $g$ divise $2n$, on aura la forme $\left(g,n,{\frac {-n^{2}(D'-1}{g}}\right)$, dont le déterminant est $D$, et dans laquelle $g$ est évidemment le plus grand diviseur commun entre $g$, $2n$, ${\frac {n^{2}(D'-1)}{g}}$ ; (car ${\frac {n^{2}(D'-1)}{g^{2}}}={\frac {4n^{2}}{g^{2}}}.{\frac {D'-1}{4}}$ est évidemment un nombre entier). Réciproquement, si $g$ est une valeur de $m$, c’est-à-dire, si $g$ est le plus grand commun diviseur des nombres $M$, $2N$, $P$, et qu’on ait $N^{2}-MP=D$, il est évident que $4D$ ou $4n^{2}D'$ sera divisible par $g^{2}$, et il suit de là que $2n$ est nécessairement divisible par $g$ ; car si $g$ ne divisait pas $2n$, $g$ et $2n$ auraient pour plus grand commun diviseur un nombre $\delta <g$, et en faisant $2n=\delta n'$, $g=\delta g',$ ${\frac {n'^{2}D}{g'^{2}}}$ serait un nombre entier ; mais $n'$ est premier avec $g'$, et partant $n'^{2}$ avec $g'^{2}$ ; donc $D'$ serait divisible par $g'^{2}$, contre l’hypothèse, puisque $D'$ est délivré de tout facteur quadratique.

2^o. Si $D'$ est de la forme $4k+2$ ou $4k+3$, tout diviseur de $n$ sera valeur de $m$, et réciproquement toute valeur de $m$ divisera $n$. En effet, si $g$ est diviseur de $n$, on aura la forme $\left(g,0,{\frac {-n^{2}D'}{g}}\right)$, dont le déterminant est $D$, et où $g$ est évidemment le plus grand commun diviseur des nombres $g$, $0$, ${\frac {-n^{2}D'}{g}}$. Réciproquement, si $g$ est supposé valeur de $n$, c’est-à-dire, le plus grand commun di-

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